Actividades del artículo ¿Qué es GeoGebra Discovery?

Se ha elaborado una propuesta para un artículo denominado "¿Qué es GeoGebra Discovery? Una ilustración", en el cual se describen las nuevas herramientas de GeoGebra razonamiento automatizado para geometría. En esta actividad se presentan las ilustraciones utilizadas en dicho artículo para ilustrar el uso de estas herramientas. Consideramos, en primer lugar, la herramienta Relación. Consideremos un cuadrilátero cualquiera, los puntos medios de sus lados y dos segmentos que unen dos pares de lados adyacentes. ¿Qué relación existe entre este par de segmentos? Después de construir el cuadrilátero y los segmentos f y g, utilizamos la sintaxis Relación(f, g) con lo que se obtiene una ventana que muestra la verificación numérica de las relaciones entre estos segmentos. Al dar clic sobre los botones "Más", se genera un nuevo recuadro con la verificación simbólica de estos hechos.

Consideremos un cuadrilátero cíclico y las mediatrices de los lados de este objeto geométrico. ¿Qué relación existe entre estas cuatro rectas? Después de construir el cuadrilátero cíclico y sus mediatrices, elaboramos dos listas l1 con las rectas f, g, h y l2 con las rectas g, h, i, así como el punto E intersección entre f y g. A continuación utilizamos la sintaxis Relación(l1) con lo cual obtenemos, desde el punto de vista numérico que las rectas f, g, h concurren en el punto E. La confirmación simbólica de este hecho se obtiene al oprimir el botón "Más" del recuadro en la pantalla. Análogamente resulta la concurrencia de las rectas g, h, i; de lo cual se deduce la concurrencia de las mediatrices del cuadrilátero en el punto E. Las características de este punto se obtienen utilizando la sintaxis Relación(O, E) con lo cual podemos concluir que: Las mediatrices de los lados de un cuadrilátero cíclico son concurrentes en el centro de la circunferencia.

Determinar el lugar geométrico generado por un punto Q que es la intersección de la recta tangente a una circunferencia en un punto P de ella y la recta perpendicular a la tangente en un punto C exterior a la circunferencia.

La construcción del lugar procede como sigue:

• Construya una circunferencia de centro en un punto A que pasa por B, un punto P sobre la circunferencia y un punto C en su exterior. 
• Trace la recta tangente en P a la circunferencia, la perpendicular por C a la tangente y denote con Q al punto de corte de estas dos rectas.
• Utilice la sintaxis       

Dado un triángulo ABC, caracterizar los puntos C para los cuales este triángulo es isósceles en C, es decir, AC=BC. Construimos un triángulo ABC de lados BC=a, AC=b y AB=c y deseamos conocer donde debe estar el punto C para a y b tengan la misma longitud. Para ello utilizamos la sintaxis: EcuaciónLugar(a==b, C) lo que nos genera la recta ec1 de ecuación 10x+4y=29. ¿ qué características posee esta recta? Hallamos (revisar el archivo GeoGebra enseguida) el punto D, intersección entre la recta y el segmento AB, ubicamos un punto E sobre ella, medimos el ángulo EDB y la longitud de los segmentos AD y DB, lo que nos permite conjeturar, que: “La recta es perpendicular al segmento AB en su punto medio”, es decir, el lugar geométrico es “la mediatriz del segmento AB”.

Verificamos simbólicamente en GeoGebra este hecho, de la manera siguiente. Ocultamos el lugar geométrico y construimos la mediatriz del segmento AB, a continuación, ubicamos un punto F sobre la mediatriz, construimos el triángulo AFB y utilizamos, desde el menú de GeoGebra, la herramienta Relación, o el comando correspondiente, escribiendo, desdela barra de entrada, la expresión:    Relación(a₁, b₁) Lo que genera la verificación numérica y con el botón "Más" obtenemos la confirmación simbólica de que: “Si el punto C está sobre la mediatriz del segmento AB el triángulo ABC es isósceles”.

Una manera, no usual, de definir una hipérbola es la siguiente. Una hipérbola es la envolvente de una familia de rectas perpendiculares en el extremo móvil de un segmento determinado por un punto libre sobre la circunferencia principal y un foco de la hipérbola. La construcción de la hipérbola, a partir de esta definición, puede desarrollarse en GeoGebra de la siguiente manera. a.      Considere una recta cualquiera y sobre ella dos puntos F₁ y F₂ que serán los focos de la hipérbola. b.     Con centro en el punto medio del segmento F₁F₂ construya una circunferencia de diámetro menor que la longitud de este segmento. Esta es una circunferencia principal de la hipérbola y los puntos de corte de esta circunferencia y la recta F₁F₂ son los vértices V₁ y V₂ de la hipérbola. c.      Seleccione un punto libre P sobre la hipérbola y trace el segmento PF₂. d.     Construya la recta l perpendicular al segmento PF₂ en el extremo P. e.      Desde la barra de entrada escriba Envolvente(l, P) Con ello se genera la curva ec2 cuya ecuación, par los puntos F₁(-3, 0), F₂(3, 0) y V₁(-9/4, 0), se muestra en la gráfica a continuación. Si desea visualizar la familia de rectas que genera esta curva debe activar el rastro de la recta l y animar el punto P.

Considere un triángulo cualquiera ABC y D, E, F los puntos medios de los lados AB, BC y AC. ¿Qué relaciones geométricas válidas, que involucren el punto D, se deducen de esta configuración? Escriba, desde la barra de entrada, Descubrir(D) Se obtiene el resultado que ilustra la siguiente construcción, la cual nos presenta todos los teoremas que GeoGebra ha descubierto y que involucran al punto D. De ello, podemos concluir, por ejemplo, que los triángulos ADF, FDE, DEB y FCE son congruentes y que por tanto el área de cada uno de ellos es la cuarta parte del área del triángulo ABC. ¿ qué otros resultados podemos deducir de esta configuración? Nótese que GeoGebra colorea, de un mismo color, los objetos que de alguna manera están relacionados.

Considere un cometa cualquiera ABCD y sus diagonales g=AC y h=BD. Proponer posibles relaciones geométricas entre los segmentos g y h. Un cometa es un cuadrilátero con dos pares de lados adyacentes congruentes. Un cometa puede construirse geométricamente seleccionando tres puntos arbitrarios no colineales A, B y C, trazando la recta AC y reflejando sobre esta recta el punto B para obtener un punto D. El cuadrilátero ABCD es un cometa. La siguiente gráfica ilustra la respuesta de GeoGebra al uso del comando Demuestra y nos afirma que las diagonales de un cometa son perpendiculares. El comando DemuestraDetalles nos informa que estas diagonales son perpendiculares siempre los puntos A y B no coincidan.

Sea ABC un triángulo cualquiera, f la perpendicular por C al lado AB y D su punto de corte con este lado y considere los segmentos g=CD, i=BD y h=AD. ¿Qué condiciones debe cumplir el punto C para que g²=i*h? Versión inicial de Gordejuela et al., 2021. La construcción que se requiere, así como el lugar geométrico en el cual debe estar el punto C para que se satisfaga el teorema de la altura, es decir, para que se cumpla la relación g²=i*h, se muestra enseguida. El resultado deseado requiere de la instrucción EcuaciónLugar(g² ==h*i, C). Este lugar, para A=(0, 0) y B=(8, 0), está definido por la ecuación y al parecer está conformado por la unión de una circunferencia y una hipérbola. Si pedimos al CAS de GeoGebra factorizar la expresión anterior se obtiene, , es decir, que el punto C debe estar en la circunferencia de ecuación o en la hipérbola de ecuación , excepto cuando los puntos A y B coinciden. Es un hecho conocido que el teorema de la altura, es decir que, l²=m*n, se cumple cuando C, en este caso E, está sobre la circunferencia de diámetro AB y que el triángulo ABE es rectángulo en E, pero es ¡un nuevo hecho¡, que también se cumple que, q²=r*s, cuando C, en este caso F, está sobre la hipérbola, pero en este caso el triángulo ABF no es rectángulo. La demostración de este hecho y las características de este triángulo y de la hipérbola son consideradas, en (Gordejuela et al., 2021), por ejemplo, el triángulo ABF lo denominan pseudo-rectángulo por el hecho de la diferencia de los ángulos FBA y BAF es 90°.   Todos estos hechos se pueden confirmar revisando, paso a paso, la construcción que se presenta en el siguiente archivo. Una observación es necesaria. No es posible ubicar los puntos E y F sobre el lugar geométrico definido por ec1 para construir los triángulos ABE y ABF, por ello, la circunferencia y la hipérbola se han construido, complementariamente, de manera diferente. La circunferencia por sus características geométricas, es decir, una circunferencia de diámetro AB que corresponde al objeto d y la hipérbola a partir de su ecuación algebraica y corresponde al objeto ec3. Esto implica que si arrastra los puntos A o B, la circunferencia seguirá siendo el objeto adecuado pero la hipérbola no; para que lo sea debe factorizar nuevamente la expresión algebraica ec1 que defina el lugar geométrico y construir de nuevo la hipérbola a partir de la parte algebraica que le corresponda en esta factorización.