¿ESCONDE MI CACTUS ALGO DE GEOMETRIA?
Cuando fotografié mi cactus observe que algo de matemática tenía, vi que las espinas forman circunferencias. Me interesó ver si esto es cierto y encontrar una relación entre las circunferencias aplicando GEOGEBRA.
Procedimiento
Marco los puntos C, D, E formando el triángulo CDE ¿Queremos saber si las espinas del cactus tienen una relación determinada?
Necesito encontrar la circunferencia circunscripta en el triángulo; para ello trazo las mediatrices de los tres lados; dado que el punto de intersección de estas es el centro de la circunferencia que se denomina
circuncentro (F )
Realizo la transformación del triángulo EFG en sí mismo, donde se mantiene la forma pero cambiando su tamaño, es decir una homotecia.
Aplicó la homotecia de centro F y razón 2 a cada uno de los lados del triángulo obteniendo
C 
C´ E E´ D D´
Geogebra me da los valores de los lados de cada uno de los triángulos.
Lado CD= 2,87 lado homotético C´D´= 5,73
Lado DE = 2,42 lado homotético D´E´=4,84
Lado EC =2,35 lado homotético E´C´= 4,71
¿Los lados son proporcionales?
Si ocurre que lado C´D´= 2 x CD (1) entonces son proporcionales.
Calculo algebraicamente la longitud de cada uno de los segmentos aplicando la fórmula de distancia.
Lado CD= 2,87 lado homotético C´D´= 5,73. Coordenadas de los puntos C = (2,86;1) y D=(5,56; 0,04)
Hago en (1) C´D´= 2 x CD ……. C´D´= 2 x2.865 …….. C´D´= 5,73
Lado DE = 2,42 lado homotético D´E´=4,84. Coordenadas de los puntos D = (5,56; 0,04) y E = (3,52;-1,26)
d= 2,412 es un valor muy cercano a d= 2,42
Hago en (1) D´E´= 2 x DE ……. D´E´= 2 x 2.42 …….. D´E´=4,84
Lado EC =2,35 lado homotético E´C´= 4,71 Coordenadas de los puntos E = (3,52;-1,26) y C = (2,86;1)
d= 2,35
Hago en (1) E´C´= = 2 x EC ……. E´C´= = 2 x 2,35 …….. E´C´=4,7
Los lados son proporcionales.
Con ayuda de geogebra trazo una circunferencia que pase por los puntos homotéticos E´, C´ y D´. Como los
triángulos son homotéticos las circunferencias también lo son.
Calculamos el área de las circunferencias
Circunferencia k área = π x r2 (r =radioCircunferenciak)
área =π x (1,49)2 área =6,9 por aproximación por redondeo área = 7
Circunferencia p área = π x r2 (r =radioCircunferenciap)
área =π x (2,98)2 área = 27,89 por aproximación por redondeo área = 27,9
Si tomamos las áreas de las circunferencias y hacemos el cociente entre ellas
El valor 4 es el cuadrado de la razón k = 2, razón utilizada para efectuar la homotecia.
Conclusión
Luego de aplicarle algunos conceptos (mediatriz, homotecia, area) matemáticos puedo decir que las espinas de mi cactus guardan una relación, crecen siguiendo un patrón circular.
C´ E E´ D D´
Geogebra me da los valores de los lados de cada uno de los triángulos.
Lado CD= 2,87 lado homotético C´D´= 5,73
Lado DE = 2,42 lado homotético D´E´=4,84
Lado EC =2,35 lado homotético E´C´= 4,71
¿Los lados son proporcionales?
Si ocurre que lado C´D´= 2 x CD (1) entonces son proporcionales.
Calculo algebraicamente la longitud de cada uno de los segmentos aplicando la fórmula de distancia.
Lado CD= 2,87 lado homotético C´D´= 5,73. Coordenadas de los puntos C = (2,86;1) y D=(5,56; 0,04)
Hago en (1) C´D´= 2 x CD ……. C´D´= 2 x2.865 …….. C´D´= 5,73
Lado DE = 2,42 lado homotético D´E´=4,84. Coordenadas de los puntos D = (5,56; 0,04) y E = (3,52;-1,26)
d= 2,412 es un valor muy cercano a d= 2,42
Hago en (1) D´E´= 2 x DE ……. D´E´= 2 x 2.42 …….. D´E´=4,84
Lado EC =2,35 lado homotético E´C´= 4,71 Coordenadas de los puntos E = (3,52;-1,26) y C = (2,86;1)
d= 2,35
Hago en (1) E´C´= = 2 x EC ……. E´C´= = 2 x 2,35 …….. E´C´=4,7
Los lados son proporcionales.
Con ayuda de geogebra trazo una circunferencia que pase por los puntos homotéticos E´, C´ y D´. Como los
triángulos son homotéticos las circunferencias también lo son.
Calculamos el área de las circunferencias
Circunferencia k área = π x r2 (r =radioCircunferenciak)
área =π x (1,49)2 área =6,9 por aproximación por redondeo área = 7
Circunferencia p área = π x r2 (r =radioCircunferenciap)
área =π x (2,98)2 área = 27,89 por aproximación por redondeo área = 27,9
Si tomamos las áreas de las circunferencias y hacemos el cociente entre ellas
El valor 4 es el cuadrado de la razón k = 2, razón utilizada para efectuar la homotecia.
Conclusión
Luego de aplicarle algunos conceptos (mediatriz, homotecia, area) matemáticos puedo decir que las espinas de mi cactus guardan una relación, crecen siguiendo un patrón circular.