Factorización y mínimo común múltiplo
Se dice que un número n es múltiplo de otro número m, si n puede expresarse de la forma
donde k es cualquier número entero. Por ejemplo, 8 es múltiplo de 2 ya que y 15 es múltiplo de 5 porque
La cantidad de múltiplos de un número es infinita, basta con escoger distintos valores de k
Actividad 1
¿Es 18 múltiplo de 6? En caso afirmativo encontrar el valor de k
Actividad 2
Indicar de cuáles de los siguientes números es múltiplo 32
Se dice que un número a es un factor de otro número b cuando al dividir a entre b
el resultado es un número entero. Por ejemplo, 3 es factor de 15 ya que al dividir 15 entre 3
se obtiene 5, que es un número entero. Si 3 es un factor de 15, entonces necesariamente 15 es
múltiplo de 3.
Factorizar un número consiste en expresarlo en forma de factores que sean números primos.
Un número primo solo tiene como factores a si mismo y al 1. Se puede usar una tabla de
descomposición para descomponer un número en factores.
La tabla de descomposición se construye buscando los divisores del número original. Por
ejemplo, la tabla para el 12 podrı́a empezar dividiendo 12 entre 2, de manera que se coloca un
2 a la derecha del 12. El cociente entre 12 y 2, es decir, 6 se coloca debajo del 12. Se repite este proceso hasta que se obtiene el número 1 en la columna izquierda.
Existe más de un orden para expresar los elementos de la tabla. Las tres tablas siguientes
son equivalentes, ya que en todos los casos se concluye que los factores del número 12 son 3, 2
y 2.
Las tablas de descomposición para el 30 y el 72 serían
También se puede hacer la descomposición en factores en forma de árbol. En este caso se
van colocando debajo del número original dos números cuyo producto sea el número original.
Finalmente se seleccionan los números primos. Por ejemplo, para el número 72 se tendrı́a
Actividad 3
Escribir la tabla de descomposición para el 48
Mínimo común múltiplo
El mı́nimo común múltiplo (mcm) entre dos números es el menor múltiplo de ambos números.
Para calcular el mcm entre dos números se puede escribir una tabla con todos los múltiplos de cada número, es decir, ir escribiendo los números resultantes de multiplicar el número original por los valores k=1, 2, 3, ...
Entre 12 y 18 el mcm es 36, ya que es múltiplo de 12 (k=3) y a la vez de 18 (k=2)
12 18
24 36
36 54
48 72
Actividad 4
Usar una tabla de múltiplos para calcular el mínimo común múltiplo entre 24 y 36 e indicar a qué multiplo de cada número corresponde
A continuación se presenta una hoja dinámica en la que se pueden colocar dos números y se arroja la tabla de sus primeros múltiplos y su mínimo común múltiplo.
Actividad 5
Indicar cuál de los siguientes números es el mı́nimo común múltiplo de 12 y 15
Actividad 6
Indicar cuál de los siguientes números es el mı́nimo común múltiplo de 18 y 30
Sincronización de procesos
Las cigarras son unos insectos con un comportamiento reproductivo muy peculiar. Sus larvas maduran bajo tierra y salen a la superficie de manera prácticamente simultánea para abrumar a sus depredadores. De esta forma un ciclo reproductivo puede tomar algunos años, y variar según la subespecie, de manera que se eviten las coincidencias para no competir por los mismos recursos.
Suponer que dos subespecies competidoras de cigarras tienen ciclos reproductivos de 4 y 6 años respectivamente. Si un año determinado coinciden sus periodos reproductivos, ¿cuántos años deberán pasar para que coincidan de nuevo?
En este caso es útil el mínimo común múltiplo, ya que la respuesta es precisamente el mínimo común múltiplo entre 4 y 6, es decir, 12 años.
Actividad 7
Si dos especies de cigarras tienen periodos reproductivos de 8 y 14 años respectivamente y un año determinado coinciden, determinar cuántos años pasarán hasta la siguiente coincidencia.