Sterne entstehen lassen
Sternentstehung
Laut Friedrich Nietzsche muss man noch viel Chaos in sich tragen, um einen tanzenden Stern zu gebären. In der Mathematik geht das deutlich einfacher, wenn man den Sternbegriff mathematisch betrachten will. In der Ebene sind das die Diagonalen in regulären Polygonen, die mehr als 4 Ecken haben. Bei gerader Eckenzahl kann man keine Diagonale (überspringen eines Eckpunktes) im klassischen Sinn Einzeichen, aber man Eckpunkte so verbinden, dass ein Sternenmuster entsteht.
Das Applet im Kapitel vorher zeigt dies für die Polygonsterne, deren Polygone kleiner als 9 sind, wobei auch die Eckverbindungen als Diagonalen zählen, die zwei Eckpunkte überspringen.
Um die räumlichen Sterne von den ebenen Sternen abzugrenzen, nennt man die Sterne aus Körpern Sternkörper, wenn an allen Ecken gleichviel Flächen zusammenstoßen.
Man kann auf die Flächen der platonischen Körper Pyramiden aufsetzen, deren Grundfläche dem zugehörigen Polygon entspricht, und schon entstehen sehr schöne Sternkörper. Dabei wird der Begriff Pyramide mathematisch interpretiert, d.h. als Pyramiden gelten alle Spitzkörper, deren Spitze genau über der eckigen Grundfläche liegt, unabhängig von der Eckenzahl der Grundfläche.
Es sollen zunächst die Konstruktionen im Vordergrund stehen, und nicht sofort wieder mit Algebra und Algorithmen der Blick auf die Schönheit dieser geometrischen Kleinode verstellt werden.
Hans Walser hat schon 2015 zu den regelmäßigen Sternen einen schönen Vortrag gehalten, also Sterne in der Ebene und dabei auch das Schläfli-Symbol erklärt, dass die (ebenen) Polygonalsterne klassifiziert.
Der erste 'Zackenkörper' entsteht aus zwei Tetraedern, aus denen der sogenannte Keplerstern entsteht.
Da nicht an allen Ecken gleichviele Flächen zusammenstoßen, gehört er im eigentlichen Sinn nicht zu den Sternkörpern, passt aber in die Thematik dieses Books. Deshalb habe ich ihn Zackenkörper genannt. Zunächst ist der Keplerstern zwar beweglich, aber ansonsten statisch konstruiert. Danach folgt ein Applet, das eine Entwicklung durch eine Verschmelzung darstellt..
Analytische Betrachtung
Im oberen Abschnitt ist der Keplerstern ja statisch, und nur über die Mittelpunkte der Kanten des Ausgangstetraeders konstruiert. Auf dessen Seitenflächen werden Tetraeder aufgesetzt, die nur ein Viertel des Ausgangstetraeders ausmachen. Betrachtet man den Keplerstern als Durchdringung von zwei punktsymmetrischen Tetraedern, dann entsteht der Keplerstern dynamisch, wie im nachfolgenden Applet dargestellt. Die beiden Tetraeder verschmelzen zu einem Keplerstern.