Hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum
"Spielverderber" Sattelpunkte
Im vorhergehenden Kapitel können für eine Beispielfunktion die Extrempunkte und auch ein Sattelpunkt angezeigt werden. Bei Sattelpunkten ist die Steigung gleich Null, genau wie bei Extremstellen. Das heißt, wenn mit der notwendigen Bedingung für Extremstellen die Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion berechnet werden, dann kann dort ein Hoch- oder ein Tiefpunkt, es kann aber auch ein Sattelpunkt vorliegen.
Wer aber nur Extrema berechnen möchte, der möchte keinen Sattelpunkt als Ergebnis. Glücklicherweise lässt sich mit weiteren kurzen Rechnungen ein Sattelpunkt von Extrempunkten unterscheiden.
Hilfe von der zweiten Ableitungsfunktion
Im Kapitel "Funktionen analysieren mit der zweiten Ableitungsfunktion" haben wir festgestellt, dass man mit Hilfe der zweiten Ableitungsfunktion an jeder Stelle Aussagen über die Krümmungsrichtung des Funktionsgraphen machen kann: Hat an einer Stelle einen positiven Funktionswert, dann liegt dort eine Linkskrümmung des Funktionsgraphen von vor, und umgekehrt.
Wer sich einen Funktionsgraphen mit Hoch- und Tiefpunkten ansieht, kann schnell herausfinden:
- Bei Hochpunkten hat der Funktionsgraph eine Rechtskrümmung, also ist hier
- Bei Tiefpunkten hat der Funktionsgraph eine Linkskrümmung, also ist hier
Hinreichende Bedingung für Extrema mit der ZWEITEN Ableitung
Ist an einer Stelle die notwendige Bedingung für Extrema erfüllt, d.h. die erste Ableitungsfunktion ist gleich Null, dann gilt:
- Ist , dann ist an der Stelle ein Tiefpunkt
- Ist , dann ist an der Stelle ein Hochpunkt
- Ist , dann könnte an dieser Stelle auch ein Sattelpunkt sein. In diesem Fall ist die hinreichende Bedingung nicht erfüllt und es müssen weitere Untersuchungen durchgeführt werden. Glücklicherweise kommt dieser Fall nur selten vor.
Hinreichende Bedingung für Extrema mit der ERSTEN Ableitung
Diese hinreichende Bedingung ist nur dann notwendig, wenn die oben stehende, mit der zweiten Ableitung, nicht erfüllt ist, d.h. wenn und . Dann kann diese Bedingung Sicherheit schaffen:
Vor einem Hochpunkt muss ein Funktionsgraph steigen, die Tangentensteigung ist also positiv. Hinter einem Hochpunkt muss ein Funktionsgraph fallen, die Tangentensteigung ist also negativ. Bei Tiefpunkten ist es umgekehrt. Daraus folgt: Bei einer Extremstelle schneidet die erste Ableitungsfunktion die Abszisse.
Bei Sattelpunkten ist das anders: Wenn der Funktionsgraph vor einem Sattelpunkt steigt, dann tut er das auch nach dem Sattelpunkt. Wenn er vor einem Sattelpunkt fällt, dann tut er das auch nach dem Sattelpunkt. Das heißt: Bei einem Sattelpunkt berührt der Funktionsgraph der ersten Ableitung nur die Abszisse.
Berechnen von Extrempunkten mit notwendiger und hinreichender Bedingung
Berechne alle Extrempunkte der Funktion :
1. Notwendige Bedingung:
Berechne die erste Ableitung:
Berechne die Nullstellen von :
Mitternachtsformel:
und
2. Hinreichende Bedingung:
Einsetzen der berechneten Stellen in die zweite Ableitung:
- Berechnen der zweiten Ableitung:
- Hier ist ein Hochpunkt
- Hier ist ein Tiefpunkt