Algorytm wyznaczania ekstremów globalnych, Przykład 5.1
Niech będzie funkcją ciągłą na przedziale . Z twierdzenia Weierstrassa wynika, że funkcja posiada na przedziale ekstrema globalne (absolutne), tzn. osiąga na przedziale wartość największą i wartość najmniejszą. Aby wyznaczyć te wartości należy
- znaleźć w przedziale punkty stacjonarne funkcji , tzn. rozwiązać równanie etap 1,
- określić w przedziale punkty, w których nie istnieje pochodna funkcji etap 2,
- określić wartość największą i najmniejszą funkcji porównując wartości funkcji w otrzymanych wcześniej punktach oraz na końcach przedziału (czyli w punktach i ) etap 3.
Przykład.
Wyznaczymy ekstrema globalne funkcji określonej wzorem
na przedziale . Rozwiązanie: Etap 1.
Funkcja ma trzy punkty stacjonarne, ale tylko należy do przedziału .
Etap 2. Funkcja jest różniczkowalna w całej dziedzinie, więc nie ma takich punktów, w których nie istnieje jej pochodna.
Etap 3. Funkcja może mieć ekstrema globalne w punktach: i . Obliczamy wartości funkcji w tych punktach i wybieramy spośród nich wartość największą i najmniejszą.
Odpowiedź. Z powyższych obliczeń wynika, że
, .
A zatem najmniejsza wartość jaką funkcja osiąga na przedziale to , zaś największa to . | Uwaga. W aplecie do wyznaczenia najmniejszej i największej wartości wykorzystaliśmy polecenia Min(L) oraz Max(L), gdzie L oznacza listę liczb. |
Ćwiczenie 1.
Wyznacz ekstrema globalne funkcji określonej wzorem
na przedziale .
Ćwiczenie 2.
Podaj przykład przedziału, na którym funkcja będzie osiągała ekstrema globalne na brzegach tego przedziału.