Parabel-Konstruktionen
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books conics bicircular-quartics Darboux-cyclides (März 2021)
Leitgeraden-Konstruktion Konfokale, zu einer Achse symmetrische Parabeln sind Winkelhalbierende zweier Kreisbüschel, das sind unten bei der Wahl der Brennpunkte f = 0 und - das elliptische Kreisbüschel durch f = 0 und , also das Büschel der Ursprungsgeraden - das parabolische Kreisbüschel durch in Richtung der Symmetrie-Achse, also den Parallelen zur -Achse. In den Schnittpunkten sind die Parabel-Tangenten zugleich die Winkelhalbierenden der Brennstrahlen, als auch die doppelt-berührenden Kreise: ist sowohl ein Brennpunkt als auch ein doppelt-zählender Kurvenpunkt. Man kann das auch wie folgt beschreiben: die -achsenparallel einfallenden Lichtstrahlen werden an der Parabel reflektiert und sammeln sich im Brennpunkt. Spiegelt man den Brennpunkt f = 0 an den doppelt-berührenden Tangenten, so liegen die Spiegelbilder auf der Leitgeraden. Die Parabel-Tangenten sind die Mittelsenkrechten der Strecken f pL, für die gespiegelten Punkte pL auf der Leitgeraden.Scheitelkreis-Konstruktion
Die konfokalen Parabeln sind auch die Winkelhalbierenden der orthogonalen Kreisbüschel, das sind
- das hyperbolische Kreisbüschel der konzentrischen Kreise um f = 0
- die zur -Achse orthogonalen Parallelen
In den Schnittpunkten auf einer Parabel sind die Symmetrie-Kreise (Winkelhalbierende) der doppelt-berührende
-achsensymmetrische Kreis und der dazu orthogonale Kreis.
Wie findet man zu einer Parabel die sich auf der Parabel schneidenden Kreis und Gerade?
Spiegelt man einen der -achsen-Schnittpunkte eines um f = 0 konzentrischen Kreises an der Scheiteltangente der
Parabel, so erhält man den Schnittpunkt einer Senkrechten mit der -Achse.
Wenn Kreis und Gerade sich schneiden, so auf der Parabel.
Bemerkenswert ist, dass auch wenn sich Kreis und Gerade nicht schneiden, der Symmetriekreis in vielen Fällen
zu der Schar doppelt-berührender Kreise gehört: Man bewege s in der Nähe des Brennpunktes.
Auch hier läßt sich das Geschehen als Wellen-Reflexion deuten: die zur -Achse orthogonalen Wellenfronten
reflektieren an der Parabel als konzentrische Kreise, die in der Senke f = 0 verschwinden oder umgekehrt.
Die oben genannten Eigenschaften dienen zur "Konstruktion" der Parabel als Ortslinien.
Zusammenfassung und Erläuterung:
Die oben erwähnten Parabel-Eigenschaften sind wohlbekannt und mögen etwas umständlich beschrieben erscheinen.
Wir wollen in der Folge zeigen, dass es sich im Prinzip um Eigenschaften handelt, die allen bizirkularen Quartiken
gemeinsam sind. Kegelschnitte sind in diesem möbiusgeometrischen Zusammenhang nur Spezialfälle!
Alle bizirkularen Quartiken sind Winkelhalbierende von 2 Kreisbüscheln,
mit Hilfe von Leitkreisen können die Kurven als Ortslinien "konstruiert" werden,
und die Deutung als Überlagerung und Reflexion von Kreiswellen ist ebenfalls
für alle bizirkularen Quartiken möglich.
Insbesondere läßt sich die Konstruktion der doppelt-berührenden Kreise für bizirkulare Quartiken,
und damit die Konstruktion der doppelt-berührenden Kugeln für Darboux Cycliden ganz ähnlich
wie die für Parabeln oder andere Kegelschnitte beschreiben.