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Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (17. Januar. 2021) Diese Seite ist auch eine Aktivität des Geogebra-Books Sechseck-Netze
Eine generell mögliche Erzeugungsweise von 6-Eck-Netzen aus Kreisen: Jede bizirkulare Quartik, also auch die Kegelschnitte, besitzt mindestens einen Symmetriekreis. Zu einer solchen Symmetrie gehört eine Schar doppelt-berührender Kreise. Durch jeden Punkt des Gebietes, welches von den Kreisen überstrichen wird, gehen genau zwei der doppelt-berührenden Kreise, wenn man von den Punkten auf der Quartik und auf dem Symmetrie-Kreis absieht. Zusammen mit den Kreisen eines elliptischen Kreisbüschels zu 2 zum Symmetrie-Kreis symmetrisch liegenden Grundpunkten erhält man ein 6-Eck-Netz. Dem Applet oben liegt eine Ellipse der Exzentrizität zugrunde. Die im Inneren doppelt-berührenden Kreise und das angezeigte elliptische Kreisbüschel bilden ein 6-Eck-Netz. Wie angedeutet, ist der Sachverhalt für jeden Kegelschnitt, allgemein für jede bizirkulare Quartik richtig. Für die innen-liegenden doppelt-berührenden Kreise von Ellipsen ist uns bisher jedoch nur eine Konstruktion der doppelt-berührenden Kreise durch einen vorgegebenen Punkt im Sonderfall bekannt!Kurze Begründung für die angegebene Erzeugungsweise:
Alle Kreise sind orthogonal zum Symmetrie-Kreis.
Projiziert man die Quartik und die Kreise stereographisch auf die Einheitskugel und dann orthogonal auf die Ebene des Symmetriekreises, so werden alle zum Symmetrie-Kreis orthogonalen Kreise zu Geraden.
Die Quartik wird auf eine Quadrik in der Symmetrie-Ebene abgebildet, und die doppelt-berührenden Kreise werden
Tangenten an die Quadrik. Die Quadrik liegt nur teilweise innerhalb des absoluten Kreises.
Das elliptische Kreisbüschel wird zu einem Geraden-Büschel durch einen Punkt.
Nun greift der Satz von GRAF u. SAUER: die Geraden sind Tangenten einer Kurve 3. Klasse:
sie erzeugen ein 6-Eck-Netz aus Geraden!
Siehe dazu das Kapitel "6-Eck-Gewebe aus Geraden" in diesem geogebra-book.
Das Bild dieser 2-fachen Projektion liefert eine einfache Erklärung dafür, dass viele der doppelt-berührenden Kreise
keine reellen Berührpunkte besitzen - dies trifft auch für die im Äußeren liegenden doppelt-berührenden Kreise zu:
ein Großteil der Quadrik (Ellipse oder Hyperbel?) liegt in der Projektionsebene nicht innerhalb des absoluten Kreises.
Die Tangenten streifen den absoluten Kreis nur teilweise, der Berührpunkt liegt außerhalb!