Hommage à Walter Wunderlich
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a special 3-web of circles
W. Wunderlich, "Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen". Sitzungsber. Akad. Wiss 147 (1938) 385 - 399.
W. Wunderlich's special 3-web-of-circles is an important partial answer to the probably still unsolved
Blaschke - Bol Problem: Find all hexgonal 3-webs from circular arcs.
W. Blaschke, G. Bol 1938 Geometrie der Gewebe Springer.
Wählt man die Koordinatenachsen und den Einheitskreis als Symmetrie-Kreise
und platziert man die Brennpunkte auf die -Achse, so kann man das besondere Dreiecksnetz
wie oben darstellen. Implizit besitzt die bizirkulare Quartik eine Gleichung des Typs:
2-part bicircular quartics possess 4 pairwise orthogonal symmetry circles
and 4 focal points on one of the symmetry circles.
If one chooses the coordinate axes and the unit circle as symmetry circles
and place the focal points on the -axis,
the special 3-web-of-circles has "normal-form", see next applet.
Implicitly, the bicircular quartic has an equation of the type: For each symmetry there exists a family of circles that double-touch the quartic.
For each point exactly 2 circles of such a group pass through, if the point and the circles are on the same side,
and the point does not lie on the point of contact. This is the place where the circles touching the quartic twice
touch.
Three of the arrays lie on the same side of the quartic and create a 6-corner mesh.
Zu jeder Symmetrie existiert eine Schar von Kreisen, welche die Quartik doppelt-berühren.
Durch jeden Punkt gehen genau 2 Kreise einer solchen Schar, falls der Punkt und die Kreise auf derselben Seite liegen,
und der Punkt nicht auf den Berührort liegt. Das ist der Ort, auf welchem sich die die Quartik doppelt-berührenden Kreise
berühren.
Drei der Scharen liegen auf derselben Seite der Quartik und erzeugen ein 6-Eck-Netz.
Im Applet unten wollten wir versuchen, eine Art Steiner-Kette von 6-Ecks-Netz-Kreisen zu erzeugen;
also eine Kette von endlich vielen Kreisen, die ein abgeschlossenes Netz bilden.
Man könnte die Kette oben durch Bewegen der Punkte p0 und p1 auseinenander-ziehen.
Dabei wirkt sich hinderlich aus, dass die Kreise einer Schar die Ebene doppelt überlagern.
Die Frage nach endlichen 6-Eck-Netzen aus Kreisen bleibt weiter spannend!
W. Wunderlich, "Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen". Sitzungsber. Akad. Wiss 147 (1938) 385 - 399.
2-part bicircular quartics possess 4 pairwise orthogonal symmetry circles
and 4 focal points on one of the symmetry circles.
If one chooses the coordinate axes and the unit circle as symmetry circles
and place the focal points on the axis, the special triangle mesh
as above. Implicitly, the bicircular quartic has an equation of the type:
For each symmetry there exists a set of circles that double-touch the quartic.
For each point exactly 2 circles of such a group pass through, if the point and the circles are on the same side,
and the point does not lie on the point of contact. This is the place where the circles touching the quartic twice
touch.
Three of the arrays lie on the same side of the quartic and create a 6-corner mesh.
In the applet below, we wanted to try to create a kind of Steiner chain of 6-cornered net circles;
that is, a chain of finitely many circles that form a closed net.
You could draw the chain above by moving the points p0 and p1 apart.
This is hindered by the fact that the circles of a chain overlap the plane twice.
The question of finite 6-corner meshes of circles remains exciting!
Endliche 6-Eck-Netze aus Kreisen
