Regression bei Wachstums- und Zerfallsfunktionen

Regression bei Wachstum- bzw. Zerfallsfunktionen

Statt die Funktionsgleichung über das Lösen des Gleichungssystems zu finden, kann man auch eine Regression durchführen. Dafür darf es sogar mehr als zwei Punkte geben. Dies ist wohl die in der wissenschaftlichen Praxis am häufigsten praktizierte Methode. Denn in der Regel liegen zuerst statistische Daten vor und damit wird dann ein mathematisches Modell entworfen - also eine Funktionsgleichung gesucht. Gehen Sie mit dem HP-Prime folgendermaßen vor:

Stellen Sie im Rechner die App "Statistiken 2 Var" ein
Sie sind nun im Numerischen Modus des Rechners (Falls Sie jetzt keine Tabelle sehen, drücken Sie auf die [Num]-Taste). Es erscheint eine Tabelle. Geben Sie hier in die ersten beiden Spalten C1 und C2 die - und -Koordinaten ihrer Messwerte ein.
Drücken Sie auf die [Symb]-Taste.
Tragen Sie in das erste Textfeld oben links den Namen der Spalte ein, in der die Koordinaten für die Abszisse stehen (das ist häufig C1)
Tragen Sie in das zweite Textfeld den Namen der Spalte ein, in der die Funktionswerte - also die y-Koordinaten - stehen (das ist häufig C2).

Wecheln Sie nun mit [Symb] in die Symbolische Ansicht: Bis hier hin verläuft es bei allen Wachstums- und Zerfallsvorgängen gleich. Aber ab hier muss zwischen den Wachstumsarten unterschieden werden:

Lineare Regression mit dem HP Prime

Als erstes muss für eine lineare Regression der Regressionstyp Linear eingestellt werden.
Drücken sie nun auf das Feld Anpass auf der Menüzeile am unteren Rand des Displays, so dass daneben ein Punkt zu sehen ist.Wenn dieser Punkt nicht zusehen ist, dann sieht man in der grafischen Darstellung nur die Punkte, aber nichtden Funktionsgraphen der Regressionsfunktion.
Nun kann mit den Tasten [Shift] und [plot] ein sinnvoller Definitions- und Wertebereich für die gesuchte Funktion eingestellt werden.
Wenn danach auf [plot] gedrückt wird, kann man die Punkte und den Funktionsgraphen der Regressionsfunktion sehen.
Nach erneutem Drücken der [Symb]-Taste kann man unter Anpassung die Funktionsgleichung ablesen.

Die Funktionsgleichung kann mit [Shift]+[Copy] kopiert und mit [Shift]+[Paste] in das CAS-Fenster übertragen werden, um die Funktionsgleichung abzuspeichern und bei Bedarf weitere Rechnungen damit durchzuführen. Aber Achtung: In der Symbolischen Ansicht wird als Variable ein großes X verwendet, während im CAS-Fenster das kleine x die Variable ist. Sie müssen in der hineinkopierten Gleichung erst alle großen X durch kleine x ersetzen, und die Funktion dann erst als z.B.

abspeichern.

Exponentielle Regression mit dem HP Prime

Hier ist das Verfahren das gleiche, wie bei der linearen Regression, nur dass bei Regressionstyp "Exponentiell" eingetragen werden muss. Achtung: Wenn unter den Messwerten negative y-Werte sind, dann streiken die Computer-Algebra-Systeme wie Geogebra oder der HP-Prime. Denn diese Systeme wissen, dass eine Exponentialfunktion niemals einen negativen Wert annehmen kann.

Logistische Regression mit dem HP Prime

Hier ist das Verfahren das gleiche, wie bei der linearen Regression, nur dass bei Regressionstyp "Logistisch" eingetragen werden muss.

Regression bei beschränktem Zerfall mit dem HP Prime

Um eine Regression bei beschränktem Zerfall durchzuführen, muss man den Wert der unteren Grenze

kennen, den die Funktionswerte nicht unterschreiten können. Hier ist es wichtig, dass es wirklich keine y-Koordinate unter den Messwerten gibt, der unterhalb dieser Grenze

liegt. Das würde zu einer Fehlermeldung führen

Verbessern Sie in der Symbolischen Ansicht (Taste [Symb]) das zweite Textfeld, in dem der Name der Spalte für die y-Koordinaten steht, indem Sie hinter den Namen der Spalte ein einsetzen (also zum Beispiel C2-G), wobei sie für das den Zahlenwert der unteren Grenze einfügen.
Wählen Sie als Regressionstyp nun "Exponentiell".
Drücken Sie auf [Anpass] und wecheln Sie kurz mit [plot] in den grafischen Modus des Rechners, um gleich mit [Symb] wieder in die Symbolische Ansicht zurückzukehren. Hier können Sie nun unter "Anpassung" einen Funktionsterm ablesen.
Dieser Funktionsterm muss nun aber noch korrigiert werden. Kopieren Sie diesen Term mit [Shift]+[Copy] und [Shift]+[Paste] in das CAS-Fenster und addieren Sie die Grenze zu diesem Term. Die so korrigierte Funktionsgleichung ist die gesuchte Funktionsgleichung für den beschränkten Zerfall. Speichern Sie diese ab für weitere Rechnungen.

Achtung: Wenn es unter den Messwerten welche gibt, die kleiner als die untere Grenze sind, dann wird keine Funktion gefunden, weil die Computer-Algebra-Systeme (CAS) davon ausgehen, dass dies nicht möglich ist.

Regression bei beschränktem Wachstum mit dem HP Prime

Um eine Regression bei beschränktem Wachstum durchzuführen, muss man den Wert der oberen Grenze

kennen, den die Funktionswerte nicht erreichen können. Hier ist es wichtig, dass es wirklich keine y-Koordinate unter den Messwerten gibt, der über dieser Grenze

liegt. Das würde zu einer Fehlermeldung führen

Verbessern Sie in der Symbolischen Ansicht (Taste [Symb]) das zweite Textfeld, in dem der Name der Spalte für die y-Koordinaten steht, indem Sie vor den Namen der Spalte ein einsetzen (also zum Beispiel G-C2), wobei sie für das den Zahlenwert der unteren Grenze einfügen.
Wählen Sie als Regressionstyp nun "Exponentiell".
Drücken Sie auf [Anpass] und wecheln Sie kurz mit [plot] in den grafischen Modus des Rechners, um gleich mit [Symb] wieder in die Symbolische Ansicht zurückzukehren. Hier können Sie nun unter "Anpassung" einen Funktionsterm ablesen.
Dieser Funktionsterm muss nun aber noch korrigiert werden. Kopieren Sie diesen Term mit [Shift]+[Copy] und [Shift]+[Paste] in das CAS-Fenster und ziehen Sie diesen Funktionsterm von der Grenze ab (also ). Die so korrigierte Funktionsgleichung ist die gesuchte Funktionsgleichung für das beschränkte Wachstum. Speichern Sie diese ab für weitere Rechnungen.

Achtung: Wenn es unter den Messwerten welche gibt, die größer als die obere Grenze sind, dann wird keine Funktion gefunden, weil die Computer-Algebra-Systeme (CAS) davon ausgehen, dass dies nicht möglich ist.

Regression bei logistischem Wachstum

Hier ist das Verfahren das gleiche, wie bei der linearen Regression, nur dass bei Regressionstyp "logistisch" eingetragen werden muss. Achtung: Wenn unter den Messwerten y-Werte sind, die negativ sind, dann streiken die Computer-Algebra-Systeme wie Geogebra oder der HP-Prime. Denn diese Systeme wissen, dass eine Exponentialfunktion niemals einen negativen Wert annehmen kann.