ellipse & hyperbel - confocal
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Leitlinien und Brennpunkte (September 2021)
Diese Kegelschnitte und ihre Möbius-Transformierten besitzen 2 einfache Brennpunkte f und f‘, und einen doppelt-zählenden Brennpunkt . Diese 4 Brennpunkte kann man auf 2 Weisen zerlegen in 2 Punkte-Paare als die Grundpunkte zweier Kreisbüschel. Zerlegung der Brennpunkte in { f f‘ } und { } : Dazu gehört das elliptische Kreisbüschel durch f und f‘ und die Parallelenschar zur Hauptachse durch f und f‘; möbiusgeometrisch ist die Hauptachse der Kreis durch f, f‘, . Ausgewählt wird wieder der Brennpunkt f, die Orthogonalen zur Hauptachse sind die Leitkreise, also Leitgeraden. Zu einem Punkt q auf einer Leitgeraden konstruiere man den Berührkreis in q an die Leitgerade durch f. Die Brenngerade durch q (senkrecht zur Leitgeraden) und der Brennkreis durch f und f‘, welcher orthogonal zum Berührkreis ist, schneiden sich in 2 Punkten ders zugehörigen Kegelschnitts. Einer der beiden Winkelhalbierenden-Kreise der beiden Brennkreise berührt den Kegelschnitt doppelt. Die Spiegelung an diesem vertauscht die Brennkreise und f und q.
Für die Zerlegung { f } und { f‘ } erhält man die Brennstrahlen-Büschel durch die Brennpunkte f und f‘.
Wählt man f als Brennpunkt aus, so sind die Kreise des orthogonalen Kreisbüschels der Brennstrahlen durch f‘
die Leitkreise. Sei q ein Punkt auf einem solchen Leitkreis. Ein Berührkreis in q an den Leitkreis gehe durch f.
Der Brennstrahl durch f, der senkrecht zum Berührkreis liegt, schneidet den Brennstrahl durch f‘ und q in einem
Punkt des zugehörigen Kegelschnitts. Die Winkelhalbierende der beiden Brennstrahlen ist Kegelschnitt-Tangente.
Gespiegelt an dieser werden die beiden Brennstrahlen und f und q vertauscht.
Orthogonal zu den Brennstrahl-Büscheln sind die konzentrischen Kreisbüschel um die Brennpunkte f und f'.
Die Kreise aus den beiden Büscheln schneiden sich in Punkten der Kegelschnitte, die Winkelhalbierenden-Kreise
liegen symmetrisch zur Hauptachse. "Leitkreis" ist nun die Hauptachse, sie dient nicht zur Konstruktion.
Wie ist die Zuordnung der Brennkreise, welche sich auf einem Lösungs-Kegelschnitt schneiden?
Spiegelt man einen Schnittpunkt eines Brennkreises mit der Hauptachse an einem der Scheitel-Tangenten,
so erhält man einen Schnittpunkt des zugehörigen 2.ten Brennkreises mit der Hauptachse.
Bei dieser Zuordnung werden die Punktkreise in den Brennpunkten den Leitkreisen zugeordnet und umgekehrt!
Auch diese Konstruktionsvorschrift ist übertragen für jede bizirkulare Quartik gültig!