Farola
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Problema:
Nos encontramos con una farola en la calle que tiene dos bombillas, que iluminan un área circular cuyo radio puede variar dependiendo de cómo se configure la farola. Cuando la farola se enciende, las bombillas, en caso de que el radio configurado sea lo bastante grande, iluminan un área en común. La pregunta es: ¿Cómo podemos saber el área iluminada por ambas bombillas a la vez?
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Resolución:
Para calcular el área de la intersección, tenemos dos opciones. Podemos hacer los Cálculos de manera algebraica o podemos utilizar GeoGebra y las herramientas que nos ofrece.
Calculamos los puntos de intersección de los círculos, después trazamos 2 segmentos por cada punto a cada uno de los centros de los círculos, ahora tenemos un sector circular. Sabemos el valor de los segmentos ya que equivale a la distancia entre los puntos que definen sus extremos.
Calculamos el ángulo que forman los segmentos que coinciden en el mismo centro de los círculos. Como el radio coincide con la longitud de los segmentos de ese círculo, podemos calcular el área del sector circular que se forma con los dos segmentos y el círculo
(Por motivos de simplicidad se muestran circunferencias en vez de círculos)
Creamos el triángulo ECF trazando un segmento EF, si calculamos el área del triángulo y se la restamos al área del sector circular, tendremos uno de los valores que necesitamos para calcular el área de la intersección. Debemos repetir el proceso con el otro círculo, sin embargo, como los círculos en este caso tienen el mismo radio, podemos simplemente multiplicar por 2, ya que el valor que conseguiríamos haciendo el proceso de nuevo es el mismo que el que conseguimos la primera vez.
Al crear el polígono y el sector circular, GeoGebra automáticamente nos muestra el valor de sus áreas y nos permite utilizarlas para realizar cálculos. Así que resulta bastante más sencillo dejar que GeoGebra los realice. Sin embargo, este método consume más recursos del ordenador, es decir, la construcción es más pesada, porque construye un objeto en vez de realizar un cálculo. Como la farola es una construcción que ya es pesada de por sí, opté por utilizar las fórmulas para evitar que se ralentice demasiado el programa.
(Por motivos de simplicidad se muestran circunferencias en vez de círculos)
Creamos el triángulo ECF trazando un segmento EF, si calculamos el área del triángulo y se la restamos al área del sector circular, tendremos uno de los valores que necesitamos para calcular el área de la intersección. Debemos repetir el proceso con el otro círculo, sin embargo, como los círculos en este caso tienen el mismo radio, podemos simplemente multiplicar por 2, ya que el valor que conseguiríamos haciendo el proceso de nuevo es el mismo que el que conseguimos la primera vez.
Al crear el polígono y el sector circular, GeoGebra automáticamente nos muestra el valor de sus áreas y nos permite utilizarlas para realizar cálculos. Así que resulta bastante más sencillo dejar que GeoGebra los realice. Sin embargo, este método consume más recursos del ordenador, es decir, la construcción es más pesada, porque construye un objeto en vez de realizar un cálculo. Como la farola es una construcción que ya es pesada de por sí, opté por utilizar las fórmulas para evitar que se ralentice demasiado el programa.