Lehrbuch zur Trigonometrie
Lehrbuch zum Thema Trigonometrie. Produkt der Maturaarbeit von René Oberhänsli.
Tabla de Contenidos
- Einführung
- Einführung
- Kapitel 1: Das rechtwinklige Dreieck (Theorie)
- Namen und Definitionen
- Das Rechtwinklige Dreieck
- Voraussetzungen zur Dreieckskonstruktion
- Sinus, Cosinus, Tangens
- Kapitel 1: Das rechtwinklige Dreieck (Aufgaben)
- Aufgabe1
- Aufgabe 2
- Aufgabe 3
- Aufgabe 4
- Kapitel 2: Der Einheitskreis (Theorie)
- Der Einheitskreis
- Winkelfunktionen am Einheitskreis
- Winkelfunktionen mit Graphen
- Kapitel 2: Der Einheitskreis (Aufgaben)
- Aufgabe 1
- Aufgabe 2
- Kapitel 3: Das allgemeine Dreieck (Theorie)
- Das allgemeine Dreieck
- Der Sinussatz
- Der Cosinussatz
- Kapitel 3: Das allgemeine Dreieck (Aufgaben)
- Aufgabe 1
- Aufgabe 2
- Aufgabe 3
- Abschlusstest
- Abschlusstest
- Lösungen
- Lösungen Kapitel 1
- Lösungen Kapitel 2
- Lösungen Kapitel 3
- Abschlusstest Lösungen
Einführung
Dieses Geogebra Book ist das Produkt der Maturaarbeit von René Oberhänsli. Mein Ziel war es darin die Thematik der Trigonometrie so verständlich wie möglich zu erklären und zu visualisieren. Es ist in drei Kapitel aufgeteilt, die die grossen Teilgebiete der Trigonometrie behandeln.[br][size=100][br][/size][size=150][size=85][size=100][size=200]Kapitel 1: das rechtwinklige Dreieck[br]Kapitel 2: die Winkelfunktionen und deren Graphen[br]Kapitel 3: das allgemeine Dreieck[/size][/size][size=200] [/size][/size][/size][size=150][size=200][br][/size][/size][br]Die Voraussetzungen entsprechen etwa dem schweizer Oberstufenlevel. [br]Nun wünsche ich dir noch viel Spass und Erfolg mit meinem Lehrbuch.
Namen und Definitionen
Bevor wir mit der Trigonometrie beginnen können, müssen wir uns zuerst mit den Namen und Definitionen der einzelnen geometrischen Figuren auseinandersetzen. [br]Unten sehen wir die vier wichtigsten Bauteile:[br][br]-Punkt (A)[br] Ein Punkt ist die kleinste Einheit der Geometrie. Er wird mit einem lateinischen Grossbuchstaben bezeichnet.[br][br]-Strecke (a) / Strahl (b) / Gerade (c)[br] Diese 3 Figuren sind gerade Linien die entweder verschiedene Objekte verbinden oder unendlich lange weiterlaufen. Sie werden mit lateinischen Kleinbuchstaben bezeichnet.[br][br]-Winkel ([math]\alpha)[/math][br] Winkel sind immer Zwischen zwei Linien gespannt und geben an wie sie aufeinander stehen. Winkel werden mit griechischen Kleinbuchstaben bezeichnet.[br][br]-Fläche[br] Eine Fläche begrenzt einen Bereich der entweder offen oder von geometrischen Figuren umschlossen ist. Sie wird vor allem für Berechnungen gebraucht. Flächen sind jeweils mit "F" angeschrieben.
Aufgabe1
Drücke die Winkelfunktionen sin([math]\alpha[/math]), cos([math]\alpha[/math]) und tan([math]\alpha[/math]) duch die Seitenlängen a, b und c aus.[br][br]Drücke die Winkelfunktionen sin([math]\beta[/math]), cos([math]\beta[/math]) und tan([math]\beta[/math]) duch die Seitenlängen a, b und c aus.
Der Einheitskreis
Um die Winkelfunktionen ein wenig anschaulicher zu zeigen, werden wir sie nun am Einheitskreis zeigen. Wenn wir von dem Einheitskreis sprechen, ist ein Kreis um den Mittelpunkt(0/0) mit dem Radius r=1 gemeint. Der Winkel den wir betrachten wird jeweils von dem Punkt A(1/0) über den Mittelpunkt zu Punkt B aufgespannt.
Aufgabe 1
[color=#000000]Bestimme im Einheitskreis die Linien [/color][color=#ff0000]a[/color][color=#000000],[/color][color=#0000ff]b[/color][color=#000000] und [/color][color=#274e13]c[/color][color=#000000]. Gegeben sind die 3 Winkel [/color][math]\alpha[/math][color=#000000]=80°,[/color][math]\beta[/math][color=#000000]=120° und [math]\gamma[/math]=140°. [/color]
Das allgemeine Dreieck
In dem letzen Kapitel werden wir sehen dass man Trigonometrie auch im allgemeinen Dreieck anwenden kann. Dazu werden zwei Merksätze benötigt:[br]Der Sinussatz und der Cosinussatz.
Aufgabe 1
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seiten a,b,c und der Höhe h auf c, welche die Linie in p und q teilt.[br][br]Berechne die Fehlenden Seiten und Winkel aus den vorgegebenen Grössen:[br][br]a) a=6cm, c=8cm, [math]\gamma[/math]=80°[br]b) a=4m, [math]\beta[/math]=30°, [math]\gamma[/math]=110°[br]c) p=15mm, h=22mm, a=28mm[br]d) a=30, b=50, c=40
Abschlusstest
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Berechne die gesuchten Grössen im rechtwinkligen Dreieck:[br][br]a) a=3, b=4, c=???[br]b) c=60, [math]\beta[/math]=50° b=???[br]c) [math]\alpha[/math]=25°, [math]\beta[/math]=65°, b=???[br]d) a=20m, b=1000cm, [math]\alpha[/math]=???
zu Aufgabe 1
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Berechne die gesuchten Längen von a,b,c und d im Einheitskreis.[br]Gegeben ist der Winkel [math]\alpha[/math]=50°.
zu Aufgabe 2
Aufgabe 3 (5 Punkte)
Gegeben sind ein allgemeines Viereck, welches in drei Dreiecke unterteilt wurde. Die vier Winkel haben folgende Grössen:[br][br][math]\alpha[/math]=38.18°[br][math]\beta[/math]=38.52°[br][math]\gamma[/math]=34.66°[br][math]\epsilon[/math]=104.92°[br][br]Ebenfalls gegeben ist die Länge a=2.268. [br]Berechne b.
zu Aufgabe 3
Aufgabe 4 (2 Punkte)
Schätze anhand der unteren Grafik den Sinuswert von 120° und von 315° ab.
Lösungen Kapitel 1
Aufgabe 1
[math]sin\left(a\right)=\frac{a}{c}[/math], [math]cos\left(a\right)=\frac{b}{c}[/math], [math]tan\left(a\right)=\frac{a}{b}[/math][br][br][math]sin\left(\beta\right)=\frac{b}{c}[/math], [math]cos\left(\beta\right)=\frac{a}{c}[/math], [math]tan\left(\beta\right)=\frac{b}{a}[/math]
Aufgabe 2
[math]sin\left(\alpha\right)=\frac{3cm}{5cm}=0.6[/math][br][math]cos\left(\alpha\right)=\frac{4cm}{5cm}=0.8[/math][br][math]tan\left(\alpha\right)=\frac{3cm}{4cm}=0.25[/math]
Aufgabe 3
a) c=11.66mm, [math]\alpha[/math]=30.97°, [math]\beta[/math]=59.03°[br]b) a=24.72m, b= 13.14m, [math]\alpha[/math]=62°[br]c) a=6.92km, c=7.99km, [math]\beta[/math]=30°[br]d) a=14.82cm, b=10.38cm, c=18.09cm, [math]\beta[/math]=35°[br]e) Nicht eindeutig lösbar!
Aufgabe 4
[math]\alpha[/math]=[math]\beta[/math]=59.04°