구의 부피 (Cavalieri의 원리)
활동 목적
- Cavalieri의 원리를 이해합니다.
- 구의 부피 공식을 Cavalieri의 원리에 기반하여 이해해 봅니다.
활동 #01: 평면도형에서의 Cavalieri의 원리
아래 활동창의 슬라이더(
)를 움직이면서 변하는 값들을 관찰해 봅니다.
)를 움직이면서 변하는 값들을 관찰해 봅니다.
- 밑변의 길이를 바꿀 수 있습니다.
- 높이를 바꿀 수 있습니다.
- 점 C와 점 C'을 움직일 수 있습니다. (점선 위에서만)
- 파란색 점선의 위치를 바꾸는 슬라이더 s를 움직이며 파란색 점선과 삼각형 ABC, 삼각형 A'B'C'가 만나는 선의 길이를 확인해 봅니다.
평면도형에서의 Cavalieri의 원리
활동 후 퀴즈
1. 슬라이더 s를 통해 파란점선을 움직여 보세요. 파란선과 삼각형 ABC, 삼각형 A'B'C'이 만나는 선분의 길이는 __________.
2. 밑변의 길이, 높이, 점 C와 점 C'의 위치를 바꿔가면서, 같은 일을 반복해 보세요. (1) 파란선과 삼각형 ABC, 삼각형 A'B'C'의 넓이는 ____________________. (2) 파란선과 삼각형 ABC, 삼각형 A'B'C'이 만나는 선분의 길이는 ____________________.
관찰한 점 정리
- 두 삼각형의 높이가 같을 때, 두 삼각형의 밑변이 같으면 두 삼각형의 넓이는 같다.
- 높이와 밑변이 같은 두 삼각형의 밑변에 평행한 직선(파란색 점선)과 삼각형이 만나는 선분의 길이는 항상 같다.
추론: Cavalieri의 원리
두 평면도형의 밑변을 동일한 직선에 두고,
두 평면도형의 밑변에 평행한 직선과 두 도형과 만나서 만드는 선분의 길이가 같다면,
두 평면도형의 넓이는 같다.
입체도형으로의 확장: Cavarlieri의 원리
두 입체도형의 단면의 넓이가 같으면 두 입체도형의 부피는 같다.
활동 #02: Cavalieri의 원리
아래 활동창의 설명을 따라 탐색해 봅니다.
- 슬라이더바를 움직여 원기둥, 원뿔, 구의 단면을 살펴봅니다.
- 빗금친 부분의 넓이를 비교하여 봅니다.
- 구의 부피를 원기둥의 부피, 원뿔의 부피를 이용하여 구해봅니다.
활동 후 퀴즈
1. 구의 단면은 ___________의 단면과 넓이가 같습니다.
2. 밑면의 반지름이 이고, 높이가 인 원기둥의 부피는 몇인가요?
3. 밑면의 반지름이 이고, 높이가 인 원뿔의 부피는 몇인가요?
4. 반지름이 인 반구의 부피는 몇인가요? (1번, 2번, 3번을 모두 맞추고, Cavelieri의 원리를 적용하여 계산합니다.)