8. Distancia de un punto a una recta / distancia entre rectas
Integrantes
Bustos Rangel Luis Roberto
Noriega Zaldivar Jorge Armando
Ortiz Marin Jazmine
Saavedra Linares Abigail
Sánchez Esparza Mariana
8.1: De un PUNTO a una RECTA
Consideremos en el espacio a una recta "L" (L : (x,y,z) = P + tu) y un punto "Q". Queremos hallar una expresión para la distancia d mínima entre L y Q, también el punto Q' el cuál será el punto en la recta en la que se alcanza esta distancia mínima. Q' será la proyección ortogonal de Q a la recta L.
Una forma de conseguir esto es usando el área del paralelogramo.
Para calcular esto, consideremos un punto P sobre la recta L y un vector director u. El área del paralelogramo determinada por el vector PQ y por u es el módulo vectorial de ambos vectores.
||PQ x u||
El área de un paralelogramo también viene dada por el producto de la Base por la Altura, entonces:
||u||d(Q,L)
Por lo tanto: d(Q,L)=
Otro método que podemos usar para encontrar la distancia es usando el cálculo algebraico.
Como d(Q,L) = d(Q,Q') con Q'=P+tmu y como QQ'u entonces:
(Q-Q')u=0 (Q-P-tmu)u=
De aquí obtenemos que d(Q,L)=d(Q,Q') con Q'=P+ = P+proyuPQ
Con este método podremos encontrar el punto de proyección de el punto Q sobre la recta L, es decir Q'.
Aprende más sobre esta fórmula:
8.1 Distancia de un punto a una recta
Veamos el siguiente planteamiento tenemos en R3, en el
espacio, una recta y un punto exterior (P1). La recta la tenemos definida por
un punto P0 y su vector director L: { P0, d->}.
Necesitamos saber la distancia más corta entre la recta y él
punto P1, para eso podemos usar un triángulo rectángulo (cateto adyacente,
cateto opuesto, hipotenusa, ángulo Alpha) y podemos proyectar el vector
director al punto P0 y el P1 al P0 con el producto escalar P1P0 y el coseno del
ángulo.
Puedo plantear que si sé cuanto es: el vector x el vector Proyección (P0P1) = P0P1; podemos despejar el vector x y calcular su módulo
Vector P0P1 = vector Proy (vector P0P1) dirección vector d +vector x
Vector P0P1 – Proy (P0P1) dirección vector d = Vector X
Proy (P0P1) dirección vector d = |Vector P0P1| * cos ángulo Alpha; Y esto sale del producto escalar
8.2: Distancia entre DOS RECTAS
Se refiere a la distancia mínima que existe entre cualquier punto de una recta con cualquier punto de la otra recta. Esta distancia corresponde a la longitud del segmento ortogonal a ambas rectas que va de una recta a otra.
Dadas 2 rectas diferentes L1 : (x,y,z) = P + tv y L2 : (x,y,z) = Q + tu siempre será posible encontrar 2 planos paralelos (siempre y cuando las rectas no se crucen en ningún punto, en cuyo caso la distancia entre ellas sería igual a 0) 1 y 2 que contienen a L1 y L2, respectivamente. El vector normal a estos 2 planos es u v.
Sabemos que d(L1,L2)=d(P,2), PL1 1, En detalle sería: Un vector normal para 2 es n=uv y Q2 entonces:
d(L1,L2)=d(P,2)=
Otro método que te podría interesar:
8.2 Distancia entre 2 rectas paralelas
Veamos el siguiente planteamiento tenemos en R3, en el
espacio, una recta L1 y una recta L2. La recta L1 la tenemos definida por un
punto P1 y su vector director d1: {P1, d1->} L2 {P2, d2->}
Necesitamos saber la distancia más corta entre la recta L1 y la recta L2, para eso podemos usar un triángulo
rectángulo (cateto adyacente, cateto opuesto, hipotenusa, ángulo Alpha) y
podemos calcular el vector x, restando: vector P1P2 – vector P1P2’ = vector x
Vector P1P2’ = vector Proyeccion vectorial (vector P1P2) sobre el vector versor d1
Vector P1P2 – (vector P1P2 Producto escalar versor d1) * Versor d1 = Vector X
(vector P1P2 Producto escalar versor d1) = Escalar
(vector P1P2 Producto escalar versor d1) * Versor d1 = proyección vectorial
Distancia = |vector x|
Sobre la distancia entre un punto y una recta...
Calcula la distancia entre el punto P=(2,4,1) y la recta r:(x,y,z)=(2,3,-1)+t(1.2.1)
Sobre la distancia entre dos rectas...
Calcula la distancia entre las rectas r: y r':