Matrices, determinantes y paralelepípedos

Las matrices y los determinantes se imparten en la asignatura de matemáticas en secundaria y muchas veces, se trata de explicar que estos conceptos se encuentran en numerosos lugares. En nuestros teléfonos móviles, en Internet, en la famosa matriz de búsqueda de Google, etc.

Con esta actividad, se busca simplificar, abordar y perder la abstracción tan característica de las matemáticas. Los conceptos de matriz y determinante se enfocan de manera geométrica con el objetivo de calcular áreas o volúmenes, ofreciendo así un enfoque práctico para una mejor comprensión de los mismos.

Una matriz es un conjunto bidimensional de elementos, ordenados en filas y columnas. A las matrices se les denota con letras mayúsculas, , y una matriz con filas y columnas se denomina matriz de tamaño , . Al conjunto de las matrices de tamaño se representa como , con siendo el conjunto al que pertenecen dichos elementos.

Sea un espacio vectorial sobre con cuerpo y una base de un subespacio vectorial de , y un anillo contenido en , . Entonces, el retículo generado por es el conjunto:



Como más vale una imagen que mil palabras:

Se consideran dos vectores: y . Entonces, el paralelepípedo fundamental se puede ver geométricamente de la siguiente manera (los puntos azules son los elementos del retículo):

Si se juega un poco con lo vectores, los podemos poner de forma matricial. Por ejemplo, considerando de nuevo y , se puede expresar de la siguiente manera:

Los determinantes son valores escalares que se asocian a matrices cuadradas, esto es, aquellas matrices en las que el número de filas es igual al número de columnas. El determinante de una matriz es una medida numérica que proporciona información importante sobre la matriz y sus transformaciones lineales asociadas. En términos generales, el determinante de una matriz se denota como o

Se conoce un resultado interesante que relaciona el volumen del paralelepípedo con el determinante asociado a los vectores de un retículo, siendo la base de los vectores del retículo de forma matricial:

En este caso es claro (se pueden contar las unidades), que el volumen del paralelepípedo es de unidades. No obstante, se puede calcular perfectamente el determinante:

Exacto, cuando el volumen del paralelepípedo es igual a cero, por la definición que vimos, se tiene que:



Claro, el determinante de la matriz (los vectores de forma matricial) son cero. Esto quiere decir que los vectores son linealmente dependientes y por tanto, el sistema puede tener o infinitas soluciones o ninguna.

En conclusión, tras esta actividad, se ha estudiado y se ha relacionado un importante concepto de los retículos como es el paralelepípedo fundamental, mediante el estudio de matrices y el cálculo de determinantes de forma geométrica. Además, por último se ha relacionado el volumen del paralelepípedo fundamental con el estudio de los sistemas de ecuaciones.