Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom

Propriedades do produto escalar

Propriedades do produto escalar Propriedade 1 Dado um vetor temos: . Demonstração Consideremos um vetor . Se então e e temos o pretendido. Se então . e temos o pretendido demonstrado. Propriedade 2 Dados vetores e temos: (propriedade comutativa). Demonstração Consideremos dois vetores e . Se algum dos vetores for o vetor nulo então e temos o pretendido. Se nenhum dos vetores for o vetor nulo então e temos o pretendido demonstrado. Propriedade 3 Dados vetores e e dado um número real temos: (propriedade associativa mista). Para uma demonstração geométrica desta propriedade vamos utilizar a seguinte apliqueta. Demonstração: Sejam e vetores e seja um número real. Então, . Vamos fazer uma demonstração geométrica deste resultado no caso de e serem vetores não nulos (se algum dos vetores for o vetor nulo, a demonstração é trivial). Consideremos vetores e tais que e seja .
Fixado um ponto , sejam , e pontos tais que , e . Designemos por a projeção ortogonal de sobre . Dado que é um número positivo, pertence à semirreta . A projeção ortogonal de sobre também pertence à semirreta (caso contrário, o triângulo seria um triângulo retângulo com um ângulo obtuso, pois o ângulo seria suplementar do ângulo agudo ). Portanto, os vetores e têm o mesmo sentido e, por definição de produto escalar, tem-se: . As demonstrações no caso de o ângulo dos vetores não ser agudo e no caso de ser um número negativo ou zero fazem-se recorrendo a construções e raciocínios semelhantes. Temos o pretendido demonstrado.
Propriedade 4 Dados vetores , e temos: (propriedade distributiva). Para uma demonstração geométrica desta propriedade vamos utilizar a seguinte apliqueta. Demonstração: Sejam , e vetores. Então . Se algum dos vetores é o vetor nulo, a demonstração é trivial. Consideremos, agora, dois casos em que nenhum dos vetores é o vetor nulo. 1.° caso: os ângulos , e são agudos. Dados os vetores , e fixemos um ponto e sejam , , e pontos tais que , , e . Designemos por , por e por as projeções ortogonais, respetivamente, de , de e de sobre .
Então,
  • e
Ora, dado que os triângulos e são geometricamente iguais, tem-se que e, portanto, . Então, . 2º caso: é um ângulo agudo e e são ângulos obtusos. Dados os vetores , e , fixemos um ponto e sejam , , e pontos tais que , , e . Designemos por , por e por as projeções ortogonais, respetivamente, de , de e de sobre .
Então,
  • e
Ora, dado que os triângulos e são geometricamente iguais, tem-se que e, portanto, . Então, e, finalmente, . Temos o pretendido demonstrado. As visualizações noutras situações fazem-se recorrendo a construções e raciocínios semelhantes.