Propriedades do produto escalar
Propriedades do produto escalar
Propriedade 1
Dado um vetor temos:
.
Demonstração
Consideremos um vetor .
Se então e e temos o pretendido.
Se então .
e temos o pretendido demonstrado.
Propriedade 2
Dados vetores e temos:
(propriedade comutativa).
Demonstração
Consideremos dois vetores e .
Se algum dos vetores for o vetor nulo então e temos o pretendido.
Se nenhum dos vetores for o vetor nulo então
e temos o pretendido demonstrado.
Propriedade 3
Dados vetores e e dado um número real temos:
(propriedade associativa mista).
Para uma demonstração geométrica desta propriedade vamos utilizar a seguinte apliqueta.
Demonstração:
Sejam e vetores e seja um número real.
Então, .
Vamos fazer uma demonstração geométrica deste resultado no caso de e serem vetores não nulos (se algum dos vetores for o vetor nulo, a demonstração é trivial).
Consideremos vetores e tais que e seja .
Fixado um ponto , sejam , e pontos tais que , e .
Designemos por a projeção ortogonal de sobre .
Dado que é um número positivo, pertence à semirreta .
A projeção ortogonal de sobre também pertence à semirreta (caso contrário, o triângulo seria um triângulo retângulo com um ângulo obtuso, pois o ângulo seria suplementar do ângulo agudo ).
Portanto, os vetores e têm o mesmo sentido e, por definição de produto escalar, tem-se:
.
As demonstrações no caso de o ângulo dos vetores não ser agudo e no caso de ser um número negativo ou zero fazem-se recorrendo a construções e raciocínios semelhantes.
Temos o pretendido demonstrado.
Propriedade 4
Dados vetores , e temos:
(propriedade distributiva).
Para uma demonstração geométrica desta propriedade vamos utilizar a seguinte apliqueta.
Demonstração:
Sejam , e vetores.
Então .
Se algum dos vetores é o vetor nulo, a demonstração é trivial.
Consideremos, agora, dois casos em que nenhum dos vetores é o vetor nulo.
1.° caso: os ângulos , e são agudos.
Dados os vetores , e fixemos um ponto e sejam , , e pontos tais que , , e .
Designemos por , por e por as projeções ortogonais, respetivamente, de , de e de sobre .
Então,
- e
Então,
- e