Interpolación con el método de Newton
Interpolación Polinomial de Diferencias Divididas de Newton
Table of Contents
- Introducción
- ¿Cuántos polinomios de grado n pasan a través de n puntos?
- La interpolación de Lagrange y el problema al añadir nuevos puntos
- Interpolación Polinomial de Diferencias Divididas de Newton
- Conceptos previos
- Formula de interpolación de diferencias divididas de Newton
- Ejemplo de interpolación con el método de Newton
- Agregando un nuevo punto a la interpolación
- Error en la interpolación
- Error en la Interpolación Polinomial de Newton
- Ejemplo didáctico: formula del error
- Análisis de la Interpolación de Diferencias Divididas de Newton
- Costruyendo nuestro segundo análisis
- Reflexiones
- Para saber más...
- Reflexionemos
- Referencias
- Referencias
¿Cuántos polinomios de grado n pasan a través de n puntos?
[justify]Dados tres puntos [math]\left(0,4\right)[/math], [math]\left(2,1\right)[/math] y [math]\left(3,2\right)[/math], sabemos gracias al teorema principal de interpolación polinomial que existe solo un polinomio de grado [math]2[/math] o menor que interpola dichos puntos.[br]¿Existirá un polinomio de grado [math]3[/math] que interpole éstos [math]3[/math] puntos? Para responder esto, podemos agregar un cuarto punto ([math]\left(1,0\right)[/math] por ejemplo) y con ello obtener un nuevo polinomio de grado [math]3[/math] que interpola los tres puntos originales más el nuevo punto agregado. [/justify]
[justify]Observe que si fijamos el valor de [math]x_4=1[/math], por cada valor que asignamos a [math]y_4[/math], obtenemos un polinomio de interpolación distinto. Por tanto, dado [math]x_4[/math] fija y tomando en cuenta que [math]y_4\epsilon\mathbb{R}[/math], hay un número infinito de polinomios de grado [math]3[/math] que interpolan los tres puntos iniciales. De esta manera se muestra que dados [math]n[/math] puntos [math]\left(x_k,y_k\right)[/math] con distintas [math]x_k[/math], hay un número infinito de polinomios de grado [math]n[/math] o mayor que pasan a través de ellos (Sauer, 2012). [/justify]
[justify]Para el ejemplo anterior, tomando en cuenta los tres puntos iniciales a interpolar, ¿Qué tan sencillo resultará construir el polinomio de interpolación al agregar el cuarto punto con el método de Lagrange?[/justify]
Conceptos previos
Definición: Diferencias divididas
Las diferencias divididas de una función [math]f\left(x\right)[/math] se definen como[br][br][table][tr][td][math]f\left[x_k\right]=f\left(x_k\right)[/math] [/td][td][math]k=1,...,n[/math][/td][/tr][tr][td][math]f\left[x_k,x_{k+1}\right]=\frac{f\left[x_{k+1}\right]-f\left[x_k\right]}{x_{k+1}-x_k}[/math][/td][td][math]k=1,...,n-1[/math][/td][/tr][tr][td][math]f\left[x_k,x_{k+1},x_{k+2}\right]=\frac{f\left[x_{k+1},x_{k+2}\right]-f\left[x_k,x_{+1}\right]}{x_{k+2}-x_k}[/math][/td][td][math]k=1,...,n-2[/math][/td][/tr][/table][br]Las diferencias de orden superior se forman de acuerdo con las siguiente regla recursiva:[br][br][table][tr][td][math]f\left[x_k,x_{k+1},...,x_{k+j}\right]=\frac{f\left[x_{k+1},x_{k+2},...,x_{k+j}\right]-f\left[x_k,x_{k+1},...,x_{k+j-1}\right]}{x_{k+j}-x_k}[/math][/td][td][math]k=1,...,n-j[/math][/td][/tr][/table]
Ejemplo:
Dados los puntos [math]\left(0,4\right)[/math], [math]\left(2,1\right)[/math], [math]\left(3,2\right)[/math] y [math]\left(1,0\right)[/math], la tabla de diferencias divididas es:[br][br][table][tr][td][math]k[/math][/td][td][math]x_k[/math][/td][td][math]f\left[x_k\right][/math][/td][td][math]f\left[x_k,x_{k+1}\right][/math][/td][td][math]f\left[x_k,x_{k+1},x_{k+2}\right][/math][/td][td][math]f\left[x_k,x_{k+1},x_{k+2},x_{k+3}\right][/math][/td][/tr][tr][td][math]1[/math][/td][td][math]0[/math][/td][td][math]f\left[0\right]=4[/math][br][/td][td][math]f\left[0,2\right]=\frac{1-4}{2-0}=-\frac{3}{2}[/math][/td][td][math]f\left[0,2,3\right]=\frac{1-\left(-\frac{3}{2}\right)}{3-0}=\frac{5}{6}[/math][/td][td][math]f\left[0,2,3,1\right]=\frac{0-\frac{5}{6}}{1-0}=-\frac{5}{6}[/math][/td][/tr][tr][td][math]2[/math][/td][td][math]2[/math][/td][td][math]f\left[2\right]=1[/math][br][/td][td][math]f\left[2,3\right]=\frac{2-1}{3-2}=1[/math][/td][td][math]f\left[2,3,1\right]=\frac{1-1}{1-2}=0[/math][/td][td][/td][/tr][tr][td][math]3[/math][/td][td][math]3[/math][/td][td][math]f\left[3\right]=2[/math][br][/td][td][math]f\left[3,1\right]=\frac{0-2}{1-3}=1[/math][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][math]4[/math][/td][td][math]1[/math][/td][td][math]f\left[1\right]=0[/math][br][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table]
[justify]A medida que aumenta la cantidad de puntos, el método puede volverse confuso debido a la cantidad de diferencias a obtener. Una manera de solucionar esto y aprovechando la forma en la que se disponen los coeficientes, es emplear una tabla que sea más simple de seguir visualmente. Ésta consiste en escribir los puntos [math]x[/math] y [math]y[/math] en las dos primer columnas; luego, se realizan las diferencias de la columna de diferencias anterior y los valores de [math]x_k[/math] correspondientes.[/justify]
[justify]Como se puede observar cada elemento a partir de la tercer columna es la resta entre los valores que se encuentran en la columna anterior que están por encima y debajo de la diferencia en cuestión, de forma tal que el valor obtenido queda en el medio de ambos valores. Después, este valor se divide por la diferencia entre dos valores de [math]x[/math] que se obtienen siguiendo la diagonal desde la diferencia actual, hasta la primer diferencia [math]\left(f\left[x_k\right]\right)[/math], hacia arriba y hacia abajo.[/justify][br]
Error en la Interpolación Polinomial de Newton
[justify][/justify][justify]El teorema principal de interpolación polinomial establece que dados [math]n[/math] puntos [math]\left(x_k,y_k\right)[/math] con [math]x_k[/math] distintas, existe y es único el polinomio [math]P\left(x\right)[/math] de grado [math]n-1[/math] o menor que interpola dichos puntos. Por tanto, ya sea bajo el método de interpolacion de Lagrange o el de diferencias divididas de Newton, el polinomio resultante es el mismo.[/justify]
Teorema (Formula del Error en la Interpolación Polinomial)
Sean [math]\left(x_1,y_1\right),...,\left(x_n,y_n\right)[/math] [math]n[/math] parejas de puntos con distintas [math]x_k[/math] pertenecientes a un intervalo [math]\left[a,b\right][/math] y sea [math]f\in C^n\left[a,b\right][/math]. Denotemos por [math]P[/math] al polinomio de interpolación (de grado [math]n-1[/math] o menor) que ajusta dichos [math]n[/math] puntos. Entonces para cada [math]x\in\left[a,b\right][/math] existe un número [math]\xi\in\left(a.b\right)[/math] tal que:[br][br][math]f\left(x\right)-P\left(x\right)=\frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\cdot\cdot\cdot\left(x-x_n\right)}{n!}f^{\left(n\right)}\left(\xi\right)[/math]
Observación
El teorema también es el mismo para el método de interpolación de Lagrange y el de Newton, así mismo también aplica para hallar la cota superior del error:[br][br][math]\left|f\left(x\right)-P\left(x\right)\right|\le\frac{\left|\left(x-x_1\right)\cdot\cdot\cdot\left(x-x_n\right)\right|}{n!}M[/math][br][br]con [math]M:=max_{c\in\left[a,b\right]}\left|f^{\left(n\right)}\left(c\right)\right|[/math].
Costruyendo nuestro segundo análisis
[justify]En un laboratorio se está analizando la resistencia de una superbacteria a un nuevo antibiótico, en la tabla siguiente se registraron los datos de una muestra de superbacterias (millones) a un tiempo [math]t=-1,-0.5[/math] antes de suministrar el antibiótico, a un tiempo [math]t=0[/math] (en el que se suministra el medicamento) y a un tiempo [math]t=0.5[/math] y [math]1[/math] después de suministrar el antibiótico.[/justify][table][tr][td]tiempo (t)[/td][td]suberbacterias (millones)[/td][/tr][tr][td]-1[/td][td]0.1 [br][/td][/tr][tr][td]-0.5[/td][td]0.37[/td][/tr][tr][td]0 [/td][td]2.72[/td][/tr][tr][td]0.5[/td][td]0.32[/td][/tr][tr][td]1 [/td][td]0.09[/td][/tr][/table][br][br][br][list=1][*]Utiliza la hoja de calculo del applet de Geogebra para construir cada uno de los puntos con la información dada. [/*][*]Calcule la tabla de diferencias divididas con la información anterior en la hoja de calculo.[/*][*]Una vez calculada la tabla de diferencias divididas, construya en la celda A21 el polinomio de interpolación de diferencias divididas de Newton y estime el numero de superbacterias (millones) en el tiempo [math]t=-0.9[/math] y [math]-0.25[/math] antes de suministrar el antibiótico y el número de superbacterias (millones) a un tiempo [math]t=0.25[/math] y [math]0.9[/math] después de suministrar el antibiótico.[/*][*]Grafique estos nuevos puntos en el applet.[/*][/list][br]
Para saber más...
Simplificando funciones
[justify][math]P_3\left(x\right)=0.1139x^3-0.6021x^2+0.0282x+1[/math] es el polinomio resultante al interpolar los puntos uniformemente separados [math]\left(0,cos\left(0\right)\right)[/math], [math]\left(\frac{\pi}{6},cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)[/math], [math]\left(\frac{2\pi}{6},cos\left(\frac{2\pi}{6}\right)\right)[/math] y [math]\left(\frac{3\pi}{6},cos\left(\frac{3\pi}{6}\right)\right)[/math] sobre el intervalo [math]\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/math]. A partir de éste polinomio podemos construir una función que interpole la función [math]cos\left(x\right)[/math] sobre cualquier intervalo. Para empezar, debido a que la función [math]cos\left(x\right)[/math] es periódica en [math]2\pi[/math], usaremos la función auxiliar modulo [math]mod\left(x\right)=x-2\pi\left[\frac{x}{2\pi}\right][/math] ([math]\left[x\right][/math]representa al a función mayor entero que) , que traslada cualquier valor de [math]x\in\mathbb{R}[/math] al intervalo [math]\left[0,2\pi\right][/math]. Definiendo la función [math]intcos\left(x\right):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math] compuesta por[br][br][math]cos_1\left(x\right)=P_3\left(mod\left(x\right)\right)[/math] si [math]0\le mod\left(x\right)\le\frac{\pi}{2}[/math][br][math]cos_2\left(x\right)=-P_3\left(\pi-mod\left(x\right)\right)[/math] si [math]\frac{\pi}{2}[/math]<[math]mod\left(x\right)\le\pi[/math][br][math]cos_3\left(x\right)=-P_3\left(mod\left(x\right)-\pi\right)[/math] si [math]\pi[/math]<[math]mod\left(x\right)\le\frac{3\pi}{2}[/math][br][math]cos_4\left(x\right)=P_3\left(2\pi-mod\left(x\right)\right)[/math] si [math]\frac{3\pi}{2}[/math]<[math]mod\left(x\right)\le2\pi[/math][br][br]hemos diseñado una función que simula al [math]cos\left(x\right)[/math] a partir del polinomio [math]P_3\left(x\right)[/math]. Observe que al comparar [math]intcos\left(x\right)[/math] con [math]cos\left(x\right)[/math], el error por lo general es menor al [math]1\%[/math].[/justify]
Referencias
Sauer, T. (2012), [i]Numerical Analysis.[/i] 2nd edn. Estados Unidos: Pearson.[br]Díaz, M. L. (2009), [i]Exposición escrita: Interpolación y aproximación polinomial. [/i]México.[br]