Теорема Пифагора и ее доказательство
Сферическая теорема Пифагора формулируется следующим образом:
|
| Косинус гипотенузы прямоугольного сферического треугольника равен
произведению косинусов его катетов. |
Доказательство проведём с помощью трехгранного угла OA1B1C1 со сторонами (лучами) OA1, OB1, OC1 и вершиной в точке O, плоские углы A1OC1 и C1OB1 которого равны катетам b и a данного треугольника, плоский угол A1OB1 равен его гипотенузе c, двугранный угол между гранями A1OC1 и C1OB1равен 90 градусов, а остальные два двугранных угла равны соответствующим углам сферического прямоугольного треугольника. Этот трёхгранный угол пересечен плоскостью A1B1C1, перпендикулярной лучу OB1. Тогда углы A1C1O и A1C1B1 будут прямыми.
Заметим, что
Отсюда следует
Что и требовалось доказать
На рисунке представлен трехгранный угол, в котором можно перемещать точки А,В и С.