Lernumgebung für die Medians und den Schwerpunkt eines Dreiecks
Thema: Seitenhalbierende und der Schwerpunkt eines Dreiecks
Ziel: In dieser Aufgabe lernst du, was Seitenhalbierende (Medians) sind und wie du mit GeoGebra den Schwerpunkt eines Dreiecks konstruierst.
Lernziele:
Die Schülerinnen und Schüler sollen:
- Verstehen, was eine Seitenhalbierende (Median) in einem Dreieck ist und wie sie konstruiert wird.
- Den Schwerpunkt eines Dreiecks als den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden kennenlernen.
- Die Beziehung zwischen den Seitenhalbierenden und dem Schwerpunkt durch eigene Konstruktionen und Beobachtungen erforschen.
- Die Eigenschaften des Schwerpunkts verstehen, z.B. dass er die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt.
Aufgabe 1: Konstruiere ein Dreieck in GeoGebra
- Konstruiere ein beliebiges Dreieck ABC, indem du drei Punkte setzt und diese verbindest.
- Bestimme den Mittelpunkt der Seite AB mit dem Werkzeug „Mittelpunkt“. Zeichne eine Linie von C zu diesem Mittelpunkt. Dies ist die Seitenhalbierende der Seite AB.
- Wiederhole dies für die anderen beiden Seiten AC und BC.
- Beobachte den Punkt, an dem sich die drei Seitenhalbierenden schneiden. Dies ist der Schwerpunkt des Dreiecks.
- Markiere den Punkt als S.
Löse die Aufgabe hier
Aufgabe 2: Experimentieren
Verschiebe die Punkte A, B und C des Dreiecks und beobachte, wie sich der Schwerpunkt S verändert. Was fällt dir auf?
Aufgabe 3: Die Eigenschaften des Schwerpunkts
Miss die Längen der Seitenhalbierenden. Was stellst du fest, wenn du den Punkt S als Teilungsverhältnis betrachtest (2:1)? Beschreibe deine Ergebnisse und deine Erklärungen.
Zusatzaufgabe: Berechne den Schwerpunkt algebraisch
Berechne den Schwerpunkt eines Dreiecks ABC algebraisch:
- Verwende die Koordinaten A(x1,y1), B(x2,y2) und C(x3,y3).
- Die Formel für den Schwerpunkt S lautet:
- Überprüfe, ob das mit deinem geometrisch bestimmten Schwerpunkt übereinstimmt.