aperiodische motieven
aperiodisch
Aperiodische of niet-regelmatige vlakvullingen zijn vlakvullingen waarin je geen verschuivingen kunt vinden die de vlakvulling op zichzelf afbeeldt.
De girih tegels hebben het potentieel om dergelijke vlakvullingen te genereren: 10-voudige symmetrie en een opdelingsregel. Het is duidelijk dat heel wat decoratieve motieven wel regelmatig zijn, ook al maken ze gebruik van vijf- en tienhoeken. In vorige werkbladen van dit boek vind je heel wat voorbeelden van van regelmatige motieven. Maar Lu en Steinhardt verwijzen naar enkele unieke voorbeelden om te illustreren dat de potentie van de girih tegels om dergelijke motieven te creëren ook effectief wordt aangeboord.
opdelingsregel
De tegels in Maragha (1200 nC) worden nog versierd met een tweede, veel vrijer motief dat losstaat van de symmetrieën en vaste snijhoeken van het lijnenpatroon met de giri tegels.
Dit is niet meer het geval in de decoratie van de zwik van de boog van het Darb-e Imamschrijn in Isfahan uit 1453 nC. Hier herken je duidelijk twee decoratielagen, die beide gebaseerd zijn op dezelfde girih tegels.
Van Penrose leerden we dat in een (oneindige) Penrosebetegeling de verhouding van het aantal vliegers t.o.v. het aantal pijlen irrationaal is en het gouden getal benadert. Deze irrationale verhouding is een bewijs van aperiodiciteit.
Ook voor girih tegels kunnen we met wat hogere wiskunde een dergelijke berekening maken. Eerst bepalen we de opdelingsregels voor tienhoek, strik en zeshoek. De eigenschappen van deze transformatie kunnen we weergeven in een matrix. Levert deze matrix irrationale eigenwaarden op, dan heb je een bewijs voor aperiodiciteit.
Concreet vonden Lu en Steinhardt bij dergelijke opdelingen dezelfde verhouding terug in de verhouding van zeshoeken en strikken, wat een expliciet bewijs is voor aperiodiciteit. In onderstaande tekening vind je de uitwerking van de opdeling van strik, zeshoek en tienhoek uit het artikel van Cromwell.
