Die erste Ableitungsfunktion - Steigungen

Nach oben oder nach unten?

Unten ist eine Animation, in der ein Funktionsgraph

und ein Punkt mit einer Tangente eingefügt ist. Der Punkt lässt sich über den Schieberegler am unteren Ende der Animation bewegen. Außerdem kann man sich den Funktionsgraphen der Ableitungsfunktion

anzeigen lassen. Die Tangentensteigungen und die Ableitungsfunktion

sind phantastische Werkzeuge, um Eigenschaften der Funktion

zu analysieren:

Steigend oder fallend?

Wie kann man an der Ableitungsfunktion erkennen, wo der Funktionsgraph von steigt und wo erfällt?

Wähle alle richtigen Antworten aus

A
Wo steigt, da steigt auch .
B
Wo steigt, da hat positive Funktionswerte, d.h. der Funktionsgraph von liegt oberhalb der Abszisse.
C
Wo fällt, hat Nullstellen.
D
Wo fällt, da hat negative Funktionswerte, d.h. der Funktionsgraph von verläuft unterhalb der Abszisse.
E
Wo fällt, da fällt auch

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Extrempunkte

Ein Extrempunkt (auch Extremum genannt. Die Mehrzahl heißt "Extrema") ist ein Hoch- oder ein Tiefpunkt. Im übertragenden Sinne also ein "Berggipfel" oder eine "Talsohle". Einen Hochpunkt nennt man auch "Maximum" (die Mehrzahl heißt "Maxima") und einen Tiefpunkt "Minimum" (die Mehrzahl heißt "Minima"). Der Funktionsgraph der oben stehenden Animation hat einigen Hoch- und Tiefpunkte. Solche Extrempunkte kann man hervorragend an Hand der Tangentensteigung erkennen. Untersuche in der folgenden Animation den Zusammenhang zwischen Extrempunkten und der Tangentensteigung einer Funktion:

Notwendige Bedingung für Extremstellen

Mit der Ableitungsfunktion f'(x) berechnet man die Tangentensteigungen einer Funktion an einer Stelle x. D.h. f'(4) ist die Steigung einer Tangente von f(x) an der Stelle x=4. Wenn an einer Stelle x = x_E eine Extremstelle ist, welche Bedingung bezüglich der Ableitungsfunktion ist dann für f '(x_E) immer erfüllt?

Wähle alle richtigen Antworten aus

A
Die Ableitungsfunktion ist an der Stelle immer positiv:
B
Die Ableitungsfunktion hat an der Stelle einen Hochpunkt.
C
Die Ableitungsfunktion ist an der Stelle gleich Null:
D
Die Ableitungsfunktion hat an der Stelle negative Funktonswerte:

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Vokabeln zur Analyse von Funktionen

Wenn der Funktionsgraph in einem Intervall nur steigt, dann sagt man dieser Funktionsgraph ist streng monoton steigend. An solchen Stellen sind die Funktionswerte der Ableitungsfunktion immer größer als Null, d.h. der Funktionsgraph der Ableitungsfunktion liegt oberhalb der Abszisse.
Wenn ein Funktionswert in einem Intervall steigt oder an einigen Stellen die Steigung Null hat, dann ist er hier nur monoton steigend, d.h. der Funktionsgraph der Ableitungsfunktion ist oberhalb oder auf der Abszisse.
Wenn der Funktionsgraph in einem Intervall nur fällt, dann sagt man dieser Funktionsgraph ist streng monoton fallend. An solchen Stellen ist die Funktionswerte der Ableitungsfunktion immer kleiner als Null, d.h. der Funktionsgraph der Ableitungsfunktion liegt unterhalb der Abszisse.
Wenn ein Funktionswert in einem Intervall fällt oder an einigen Stellen die Steigung Null hat, dann ist er hier nur monoton fallend, d.h. der Funktionsgraph der Ableitungsfunktion liegt unterhalb oder auf der Abszisse.

Üben der Ableitungsregeln

Die obenstehende Funktion ist schon sehr kompliziert. Ihr Funktionsterm lautet: Wie lautet die Funktionsgleichung von ?

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