8. Puntos y Líneas
En esta sección estudiaremos algunos conceptos fundamentales de la geometría. Luego, estos conceptos fundamentales se usarán para el desarrollo de teoremas más avanzados.
Los "building blocks" de la geometría son:
1. Punto: El punto es el elemento mas simple de la geometría.
Ejemplo:
2. Segmento: Un segmento es la unión entre dos puntos.
Ejemplo:
3. Línea: Una línea es un conjunto infinito de puntos, donde los puntos continúan infinitamente en ambas direcciones.
Ejemplo:
4. Rayo: Un rayo es un conjunto infinito de puntos, donde los puntos continúan infinitamente en una sola dirección.
Ejemplo:
5. Ángulo: Un ángulo es la magnitud entre la intersección de dos rectas unidas por un vértice.
¿Cómo construimos un ángulo? Dibujamos dos rectas que se unen en un punto dado [llamado un vértice], entonces la magnitud entre las dos rectas es el ángulo.
Un ángulo se puede medir en grados o en radianes.
Ejemplo:
Propiedades que envuelven líneas y puntos:
1. Teorema: Sea L una recta, entonces la distancia más corta de P hasta L está dada por AP.
Demostración: (Prueba por contradicción)
Supongamos A' es un punto más cerca a P.
Entonces, por el teorema de Pitágoras
Lo cual contradice que A' sea el punto más cercano.
Q.E.D
2. La distancia de un punto a una recta está dada por la longitud del segmento que va desde el punto a la recta y que es perpendicular a la recta.
Figura:
3. Definición: La mediatriz de un segmento AB es la recta que es perpendicular a AB y pasa por el punto medio de AB.
Figura:
4. Teorema: Cualquier punto sobre la mediatriz del segmento AB equidista de A y de B.
Demostración: Sea D el punto medio del segmento AB y C un punto arbitrario en la mediatriz. Trazaremos dos auxiliares AC y BC para tener dos triángulos y . Notemos que y por LAL. Entonces, por partes correspondientes de triángulos congruentes tenemos que AC=BC.
Por lo tanto, cualquier punto en la mediatriz equidista de A y B.
Q.E.D
5. El recíproco del teorema anterior también es cierto.
Recíproco del teorema: Si C equidista de A y B, entonces C está sobre la mediatriz del segmento AB.
Demostración:
Comparando y
Sabemos que ambos triángulos son congruentes por LAL.
Entonces, por partes correspondientes de triángulos congruentes AD=DB.
Por lo tanto, él recíproco del teorema es cierto.
Q.E.D
6. Todos los puntos que están en la bisectriz de un ángulo equidistan a cada lado del ángulo.
Demostración:
Consideremos la siguiente figura,
Trazando las alturas de BD hacia cada lado del ángulo, obtenemos la figura que se muestra. Ahora, compararemos triángulos ABD y CBD. Entonces, por AAL ambos triángulos son congruentes. Por partes correspondientes de triángulos congruentes, obtenemos que AD=CD.
Por lo tanto, la bisectriz equidista de los lados del ángulo.
Q.E.D
7. Teorema (de la bisectriz) La bisectriz interna AF del ángulo A del triángulo ABC divide al lado opuesto BC en razón . Es decir, .
Demostración:
Comparando triángulos y . Similarmente, comparando y
Entonces, por AA, y
Luego, por la semejanza de los triángulos
(i)
Similarmente, (ii)
De (i) y de (ii)
Por lo tanto,
Q.E.D