2024 Sess. Ord. - P1
Parte (a) - Testo
Si consideri , con .
Determinare i valori dei parametri in modo che la retta , di equazione , sia tangente al grafico di nel suo punto di ascissa .
Parte (a) Soluzione
La funzione parametrica dipende da due parametri, quindi abbiamo bisogno di 2 condizioni.
Il punto appartiene sia alla retta che alla funzione parametrica.
Esplicitiamo l'equazione di rispetto alla : .
Sostituiamo al posto della la e risolviamo: . Quindi .
Imponiamo il passaggio della funzione parametrica per risolvendo . Otteniamo la prima condizione .
La funzione parametrica e la retta sono tangenti in . Quindi in il coefficiente angolare della retta è uguale al valore della derivata della funzione.
Il coefficiente angolare della retta è .
Quindi la seconda condizione è .
Il sistema costituito dalle due condizioni ha soluzione . Sostituendo tali valori nell'equazione parametrica otteniamo l'equazione cercata: .
Utilizza gli slider nell'app di seguito e osserva come si modifica il grafico di . Scegli i valori corretti dei parametri e osserva che verificano le condizioni assegnate nel problema.
Parte (a) Esplorazione
Parte (b) - (c) - Testo
Studiare la funzione e tracciarne il grafico . Scrivere l'equazione dell'ulteriore retta tangente alla curva passante per .
Al variare del parametro reale , determinare il numero di intersezioni tra la retta di equazione e la curva .
Parte (b) - (c) Soluzione
La funzione è definita e continua in .
Ha un asintoto obliquo di equazione e un asintoto verticale di equazione .
È crescente per , e decrescente per .
La derivata seconda è sempre positiva, dunque la funzione rivolge sempre la concavità verso l'alto.
Esplicitiamo il fascio di rette di equazione rispetto alla variabile : otteniamo , che è un fascio proprio, in quanto il coefficiente angolare dipende dal parametro .
Il centro del fascio è il punto determinato in precedenza (per trovare il centro del fascio, mettere in sistema le equazioni che si ottengono sostituendo due valori distinti ad ).
Per studiare il numero di intersezioni tra il fascio e è necessario considerare la posizione delle rette del fascio tangenti a , eventuali rette "notevoli" (la retta infinita del fascio, la retta parallela all'asintoto obliquo passante per il centro del fascio) e considerare il senso di "rotazione" del fascio, che è il verso di crescita del parametro, che in questo caso è antiorario.
La retta infinita del fascio è la retta verticale di equazione , cioè .
La retta parallela all'asintoto obliquo e passante per ha equazione , e si ottiene per .
Per determinare i valori di che generano le tangenti a passanti per mettiamo in sistema l'equazione del fascio di rette e l'equazione di .
Sostituendo, otteniamo l'equazione risolvente .
Imporre la condizione di tangenza a questa equazione non è possibile, in quanto non è di 2° grado, però possiamo scomporla, tenendo conto del fatto che questa equazione ha già la soluzione nota .
Dividendo tale equazione per otteniamo la scomposizione , e applichiamo la condizione di tangenza alla parte di 2° grado. Utilizzando un Delta ridotto in quanto il coefficiente del termine lineare dell'equazione è pari, la condizione di tangenza è la cui soluzione è .
Quindi il fascio è tangente alla funzione per e .
Tracciamo in un grafico le rette notevoli del fascio (tangenti, retta infinita, retta parallela all'asintoto), ed etichettiamo ciascuna retta con il corrispondente valore di .
Al variare di otteniamo le seguenti intersezioni:
1 intersezione (il punto )
3 intersezioni (di cui 2 coincidenti in e una in
3 intersezioni distinte
2 intersezioni distinte
3 intersezioni distinte (2 coincidenti + 1 distinta se )
Nell'app di seguito, utilizza lo slider per esplorare le intersezioni al variare del parametro .
Per un controllo più fine dei valori di , seleziona lo slider e utilizza i tasti freccia del tuo dispositivo.
Parte (b) - (c) - Esplorazione
Parte (d) - Testo
Sia , con , l'area della regione finita di piano compresa tra la curva , il suo asintoto obliquo, la retta e la retta di equazione . Calcolare il , fornendo un'interpretazione geometrica del risultato ottenuto.
Parte (d) - Soluzione
Muovi il punto che definisce la posizione della retta nell'app di seguito per visualizzare le due aree di cui è composta l'area richiesta.
Tale area è composta da una parte fissa , delimitata da e dalla tangente per i valori delle comprese tra e , che è l'ascissa del punto di intersezione tra e l'asintoto obliquo, e da una parte variabile , dipendente da .
Quindi e , che geometricamente rappresenta l'area della regione piana limitata dalla funzione, dalla tangente e dall'asintoto obliquo alla destra di .
In particolare, tenendo conto che l'area della regione è fissa e vale indipendentemente dal valore di , il limite indica che l'area della regione (che è illimitata!) tende al valore finito al crescere del valore di .