Grupo de isometrías

Autor:Rafael Losada Liste

Tema(s):Vectores 2D (Bidimensionales), Álgebra, Geometría, Matrices, Figuras planas o Formas, Transformación de semejanza o Semejanza, Simetría, Transformacionse geométricas, Vectores

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia. Una exposición específica de las isometrías, desde el punto de vista geométrico, puede verse en el libro Isometrías. Las cuatro isometrías (traslación, giro, reflexión y reflexión desplazada) constituyen un subgrupo (llamado grupo euclídeo) del grupo de transformaciones afines, es decir:

Al componer dos isometrías se obtiene una nueva isometría.
Existe una isometría (la identidad) que al componerla con otra no la altera.
Toda isometría tiene una isometría inversa (aquella que al componerla con la primera da la identidad).

Esto quiere decir que da igual cuántas isometrías sucesivas apliquemos y de qué tipo sean: el resultado final será equivalente a aplicar una sola isometría, que además es reversible (invertible). Dentro de las isometrías, también hay subgrupos. Las traslaciones forman un grupo propio. Los giros también forman un grupo propio. Si combinamos las traslaciones con los giros, obtenemos otro grupo propio (llamado grupo euclídeo orientado). Nota: El grupo formado por las traslaciones es, además un grupo conmutativo (o grupo abeliano), lo que significa que al componer dos traslaciones da igual el orden en que lo hagamos. Esto se debe a que la matriz de cambio de base de cualquier traslación es la matriz identidad, por lo que las matrices de las transformaciones afines correspondientes son conmutables. El resto de las composiciones, en general, no conmutan. Sin embargo, las reflexiones (simetrías axiales) y las reflexiones desplazadas no pueden formar un grupo porque cambian la orientación, así que al componer dos de ellas cualesquiera volvemos a la orientación original, lo cual solo es posible mediante un giro o una traslación. La siguiente tabla muestra el resultado (en general) de componer T₁ y T₂, ya sea primero T₁ y después T₂ (T = T₂ T₁) o al revés (T= T₁ T₂):

T₁	T₂	T	Conserva orientación	Grupo propio
Traslación	Traslación	Traslación	Sí	Sí
Traslación	Giro	Giro	Sí	Sí
Traslación	Reflexión	Reflexión desplazada	No	No
Traslación	Reflexión desplazada	Reflexión desplazada	No	No
Giro	Giro	Giro	Sí	Sí
Giro	Reflexión	Reflexión desplazada	No	No
Giro	Reflexión desplazada	Reflexión desplazada	No	No
Reflexión	Reflexión	Giro (o traslación*)	Sí	No
Reflexión	Reflexión desplazada	Giro	Sí	No
Reflexión desplazada	Reflexión desplazada	Giro	Sí	No

*En el caso de que los ejes de reflexión tengan la misma dirección. En la siguiente construcción vemos cómo, por ejemplo, al componer dos reflexiones obtenemos un giro. Observa que el triángulo OPP' es isósceles, así que parece que una sola reflexión ya equivale a un giro. Pero eso solo sucede en un punto concreto: si tomamos otro punto, la rotación ya no será la misma. Si activas la casilla Imagen, o dibujas una figura con la casilla Rastro activada, podrás observar el equívoco.

Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

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