EL LUGAR GEOMÉTRICO DEL PUNTO FSOTO Y SU CONJUGADO ISOGONAL
El punto Fsoto
El profesor Fernando Soto de la Universidad de Nariño ha observado la concurrencia de tres rectas en un punto que se ha denominado Fsoto1 y que se construye de la siguiente manera:
Considere un triángulo ABC,
1. Tome los puntos medios de los lados y trace las mediatrices.
2. Construya las circunferencias de centro en los puntos medios y que pasen por los vértices.
3. Halle los puntos de intersección de estas circunferencias con las mediatrices y tome los
puntos que están en el exterior del triángulo.
4. Aplique, a los puntos medios de los lados, una homotecia de razón un número k y de centro en
los puntos de intersección de las circunferencias con las mediatrices. (Nótese que los vértices de los triángulos y las imágenes bajo la homotecia conforman tres triángulos isóceles.
5. Trace las rectas determinadas por los vértices y las correspondientes imágenes de los
puntos medios, bajo la homotecia. Estas rectas son concurrentes en el punto que
se ha denominado Fsoto1.
NOTA:
1. Si se consideran los puntos de intersección de las circunferencias con las
mediatrices, que están en el interior del triángulo, claramente, se obtiene
otro punto de concurrencia que se ha denominado punto Fsoto2.
2. No conocemos si este punto ha sido considerado anteriormente y por ello le hemos dado este
nombre. Si logramos constatar su existencia anterior realizaremos las correcciones necesarias.
El siguiente recurso ilustra la construcción de este punto.
El conjugado isogonal
El conjugado isogónico del punto Fsoto1 lo hemos denominado Samolo1 y el conjugado isogónico de Fsoto2, Samolo2.
El siguiente recurso muestra estos puntos y sus lugares geométricos con respecto al vértice C. El lugar geométrico que genera el punto Fsoto1 (Y su isogónico, el punto Samolo1) es una curva que depende de los valores del factor de homotecia k, al parecer de una forma no regular. Experimentalmente se observa que:
Si, 0<=k<1, el lugar geométrico del punto Fsoto1 y de su isogónico es una elipse.
Si, k=1, el lugar geométrico del punto Fsoto1, es una recta y el de su isogónico sigue siendo una elipse.
Si, 1<k<=2.5, el lugar geométrico del punto Fsoto1, es una hipérbola y el de su isogónico continúa siendo una elipse.
Si, 2.5<k<2.8, ambos lugares geométricos son elipses.
Si, 2.8<=k<3, el lugar geométrico del punto Fsoto1, es una elipse y el de su isogónico es una hipérbola.
Si k>3, los lugares geométricos son hipérbolas.
Si, k<0, ambos lugares geométricos son elipses.