Reguläre Sechsecke zählen
Wie viele regelmäßige Sechsecke können in ein sechseckiges Dreieckgitter mit Seitenlänge n mit beliebiger Ausrichtung
gezeichnet werden?
Wie viele seitenparallele Sechsecke gibt es? Wenn wir die Positionen untersuchen, die sein Zentrum einnehmen kann,
dann liefert dies die zentrierte Sechseckzahl 1 + 3(n-k+1)(n-k).
In jedes dieser Sechsecke können k-1 Sechsecke eingeschrieben werden, einschließlich der gedrehten.
Damit ist die Gesamtzahl von Sechsecken, die in das sechseckige Dreiecksgitter eingeschrieben
werden können, die Summe der Produkte der Anzahl von (1+3(n-k+1)(n-k) seitenparallen
und den (k-1) eingeschriebenen Sechsecken.
Das Ergebnis ist demnach das Quadrat der Dreieckszahl D²n-1,
also das Quadrat der Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n-1.
siehe OEIS: A000537