群にも相似と合同がある？
１．ほぼ同じとぴったり同じ
このワークシートはMath by Codeの一部です。
＜イメージトレーニング＞
厳密に考える前にイメージトレーニングをしてみよう。
２つの図形が似てる場合は相似があるね。形が同じだから。
さらに、図形の辺の長さまで同じ相似形は合同といったね。
しくみ、つまり、2つの群の形が同じなのが準同型homo-morphism（群の相似）で、
さらに、群のサイズ、位数まで同じで、ぴったり重ねられるのが同型iso-morphism（群の合同）
語源的にも、morphはshape、形のことで、
homoはsimilar、つまり似ているだけだから、相似と同じ。
isoはsame、equal、つまりぴったり等しいから、合同。
ついでに、対称図形のように自分に重ねられる自己同型auto-morphism（対称性のある群）がある。
三角形ABCと三角形DEFが合同なとき、△ABC≡△DEFとかいた。
群Gと群Hが同型なとき、G≅Hとかく。線が3本というのも同じだ。1本波線だけど。
＜余りと準同型の例＞
たとえば、
群G1＝＜N,+＞
領域N：整数のあつまり。
領域のサイズ：無限
演算＋：２数の和。(N, N)->N
単位元は０，ｘの逆元は-x。
群G2＝＜Z4,⊕＞
領域Z4：｛０，１，２，３｝
領域のサイズ：４
演算⊕：２数の和を４で割った余り。(Z4,Z4)->Z4
単位元は0, xの逆元は-x（具体的には0⊕0=0,1⊕3=3⊕1=0, 2⊕2=0)
写像f：G1→G2について、
N→Z4でNを４で割った余りを求める。
たとえば、f(12+13)=f(25)=1 、f(12)⊕f(13)=0⊕1=1から、f(12+13)=f(12)⊕f(13)
一般に、どんなx、ｙについてもf(x + y) =f(x)⊕f(y)
演算結果の写像は、写像の演算結果に等しい。
２つの群で、これが言えるときにｆを準同型写像という。
三角形の相似でイメージしてみよう。
平面G1にある３点A,B,Cがｘ、ｘ＋ｙ、ｙで、Bにできる角は演算＋できまる。
平面G2にある３点A',B',C'がf(x),f(x)⊕f(y),f(y)で、B'にできる角は演算⊕で決まる。
すると、平面G1の角ｘ＋ｙを写した先f(x+y)がf(x)⊕f(y)に重なるということだね。
写像ｆが演算による要素のつながり具合、つまり、形を保つ相似な写像といえる。
それが準同型写像だ。
すると、
・f(0)=0 だから、f(単位元)=単位元となる。
・f(x)=y、f(-x)=zとする。f(0)=f(x+(-x))=f(x)⊕f(-x)=y⊕z=0だから、z=-y。つまり、f(逆元)=逆元となる。
２つの領域はちがうが、演算の効果は対応している。まるで、２つの図形の相似のようだ。
＜準同型ｆで大切なこと＞
（必要なこと）
・G1で演算した後にｆで写しても、ｆで写した後でG２で演算しても、同一になる。
・ｆでG1の単位元がG2の単位元にうつる。
準同型なら、f(e)=f(e*e)=f(e)×f(e) となるね。
両辺にf(e)の逆元をかけて、左辺=f(e)-1×f(e)=単位元、右辺=f(e)だから、f(e)=単位元
・ｆでG1の逆元がG2の逆元にうつる。
準同型なら、f(e)=f(x*x-1)=f(x)×f(x-1)となるね。
両辺にf(x)の逆元をかけて、左辺＝逆元、右辺＝f(x-1)となるから、f(x-1)=逆元
（なくてもよいこと）
・単射、１対１の写像（別の出発点からｆによる行先で同じかぶらない）one-to-one
・全射（上への写像）ｆの像が写像先の領域を全部の上を覆って向かっている。onto
（部分群にも着目しよう)
２つの群の写像ｆが準同型のとき、
・G1のｆの像f(G1)をImfとかく。imfはG2の部分で、単位元の像もあるから部分群になる。
・ｆの行先が単位元となるもと,核kernelをf-1(1G2)をkerfとかく。
kerfは、G1の部分で単位元のもとの単位元たちもあるから部分群になる。
・もしも、kerf=1G1ならG1,G2の単位元が1対1対応となるから、ｆが単射ということだね。
・部分群は部分群にうつる。
部分群の単位元、逆元はｆで上述の議論と同様にして、単位元、逆元は単位元、逆元にうつるので、
imf(部分群）は部分群を作るね。
＜回転と準同型の例＞
領域C４：{1, i, -1,-i}
領域のサイズ：４
演算＊：複素数の積。(C4,C4)->C4
単位元は1, xの逆元はx-1
領域 行列R4:{R(0),R(π/2),R(π),R(3/2 π)}
R(k)=R(π/2 *k)={{sin(π/2*k) , -cos(π/2*k)}, {cos(π/2*k), sin(π/2 *k)}}（K=0,1,2,3とおける。）
領域のサイズ：４
演算 @：行列の積。(R,R)->R
単位元はR(0) , R(x)の逆元はR(-x)。
写像 f: i ^k->R(π/2*k)
つまり、この順にf: {1, i, -1,-i}->{R(0),R(π/2),R(π),R(3/2 π)}に移そう。
そうすると、
たとえば、f(i*i)=f(-1)＝R(π)、f(i)＠f(i)=R(π/2)＠R(π/2)=R(π) iの２乗は90度回転の2乗。
一般に、f(x * y) =f(x)@f(y)
積に対応する回転は、対応する回転の積に等しい。
f(1)=R(0)。f(単位元)=単位元
f(x)=y、f(-x)=zとする。f(0)=f(x*(-x))=f(x)@f(-x)=y@z=R(0)だから、z=-y。
つまり、f(逆元)=逆元となる。
領域はちがうけれど、サイズは４で等しい。
要素が1対1対応（単射）で全射、つまり全単射。
つまり、写像が全単射だから、逆向きでも同じく準同型になる。
このように、双方向に準同型になるときは、２つの群は同型といえるし、
写像も同型だ。図形でいうと合同だね。
C4≅R4になるね。
２．準同型を同型にするわり算
＜剰余系で、準同型を同型にしよう＞
整数全体Nと領域Z4ではサイズがちがいすぎて、同型のはずがない。
そこで、領域Nを写像先と同じサイズの４に分割しよう。
４の倍数、H0=４ZでNを分割する。
H0は４の倍数の集合
H1は４で割って1余る数の集合
H2は４で割って2余る数の集合
H3は４で割って3余る数の集合
領域H4：{H0,H1,H2,H3}
領域のサイズ：４
演算+：２数からとった要素の和が属する集合。(N, N)->N
単位元はH0，Hxの逆元はH-x。（具体的にはH0+H0=H0,H1+H3=H3+H1=H0, H2+H2=H0)
領域Z4：｛０，１，２，３｝
領域のサイズ：４
演算⊕：２数の和を４で割った余り。(Z4, Z4)->Z4
単位元は0, xの逆元は-x（具体的には0⊕0=1,1⊕3=3⊕1=0, 2⊕2=0)
写像f：H4→Z4でNを４で割った余りを求める。
fは順に{H0,H1,H2,H3}->｛０，１，２，３｝の対応になる。
これは明らかに同型写像だね！
領域の要素が全単射になれば、準同型＋全単射＝同型だね。
H4≅Z4だ。
＜空間でも同型写像＞
領域：線形空間V
演算+: 位置ベクトルは和について閉じているから加法群、線形空間。
写像ｆ：V->V
Vの各要素に対する計算結果でVをVに変換する。
線形代数でも準同型を同型にするために空間を割る方法がある。
＜dim＞は、線形空間の次元
＜Imf＞は、線形空間のｆによる行先、像としての線形空間V
＜Kerf＞は、f-1(0)、つまりｆの像が０になる部分空間。核[Kernel to zero]
dimV＝dim(Kerf)＋dim(rankA)
・平面(dimV=2)が直線(dim(Imf)=1)にうつるなら、残った次元は2-1=1が核の次元だね。
・空間が(dimV=3）が直線(dim(Imf)=1)にうつるなら、残った次元は3-1=2元が核の次元になるね。
・また、dim(V/Kerf)=dim(Imf)だから、空間の次元サイズが同じなり、V/KerfとImfは同型と言える。
（例）
R2からR2への線形写像ｆの表現がA= のとき、１行目の３倍を２行目にたすと、
A'=となり、rankは１だから
dim(Imf)=dim(rankA)=1（Imfは直線）
Ax=0とする。
x=(x,y)とおくと-x+2y=０でkerfは直線y=1/2で、dim(kerf)=1
(X,Y)=(-x+2y, 3x-6y) Y=-3Xだから、Imf :y=-3x。dim(Imf)=1（Imfは直線）
dimV=2＝1+1=dim(Kerf)+dim(rankA)
fは２次元を１次元につぶしているから同型ではない。
V/Kerfによって、Vを直線Kerfと同じ傾きの直線の集合に分割する。
平面を直線に分類することで、
ｆ’：１直線→１点
ｆ’：直線をスライドする→点がスライドする
という対応関係ができるから、
ｆ：平面→点群の準同型写像（相似）
核の割り算によって、
ｆ’：線群→点群の同型写像（合同）
に改造できたとうことだね。
直線を移動すると、その写像f(V/Kerf)はImf上の点となり、点が移動するね。
これで、準同型写像が同型写像に整形できる。
ｆ’：V/Kerf→imfが同型写像だ。
V/Kerf≅imfだ。
ｖ/Kerfでimfと２つの線形空間を同型にしよう。
４．自己同型から正規部分群を作る
さっきの逆を考えてみよう。
これまでの準同型、同型は、２つの異なる領域での異なる２群の関係性がテーマだった。
こんどは１つの領域の１つの群を自分に重ねる方法、つまり、自己同型（変換）をさぐってみよう。
図形でいえば、対称図形を対称移動して自分に重ねる重ね方をさぐるようなものだね。
＜内部自己同型でペアは巡回で計算できる＞
「群Gの要素ｇで、要素ｘにgxg-1をする変換fをigと名付けよう。この写像igは自己合同変換だ。」
理由は、ｆは、f(xy)=gxyg-1=gxg-1gyg-1=f(x)g(y)だから、準同型写像。
e=f(e)-1f(e)=f(e)-1f(ee)=f(e)だから、単位元が単位元にうつるから全単射。だから自己合同だね。
そこで、この変換igをｇによる内部自己同型と呼び、
y=ig(x)と移動するもとと行先のペアx,yを共役と呼ぶことにする。
xのペアｙの求め方は、もちろんgxg-1を計算すればよいが、y=gxg-1の面白い方法がある。
群Gが対称群Snのとき、y=
辞書形式に書くと
x={1:x(1), 2:x(2),......, n:x(n)}, g={1:g(1), 2:g(2),......,n:g(n)}のとき、
y={g(1):g(x(1)), g(2):g(x(2)),......,g(n):g(x(n))} となる。
つまり、ｘのキーも値もｇを作用させるだけということだ。
（例）
S3で、g=(1 2 3) , x=(1 3 2 )なら, x={1:3, 2:1, 3:2}だからgでサイクリックにｘの要素がシフトして、
y={2:1, 3:2,1:3}=(1 3 2) となる。x=(1 3) ={1:3, 2:2, 3:1} なら、y={2:1, 3:3, 1:2}=(1 2)となるね。
だから、g=(1 2 3)による共役ペアは(1 3 2)→(1 3 2) , (1 3) →(1 2)のようになるね。
＜内部自己同型のペアではみ出さないものたちが正規部分群＞
・次に、ｇを動かしてみよう。すると変換igも動いていく。すると、共役のペアも変わると予想される。しかし、特定のかたまりは共役で閉じていることもあるだろう。
特に、群Gの部分群Nに対して、ｇをいろいろ変えて変換igをしても、Nに収まるとき、Nを正規部分群とする。正規部分群には、こういう定め方もある。
質問：S3={e,r,s,a,b,c}, N={e,r=(1 2 3),s=(1 3 2)},T={a=(2 3),b=(1 2),c=(1 3)}として、igを変化させてもNの共役がNにとどまることをコードでしらべるにはどうしたらよいでしょう。
置換で変化しない部分も形式的に統一するためにanykey関数を作り、すべてのキーの変換先を出すようにしましょう。
igx関数で、g,xから置換辞書ｘから共役な置換辞書ｙを返します。
igxs関数は、１つの置換ｘではなく、群の置換ぜんぶをxsで渡して、ぜんぶ共役にしたリストを返します。
make_auto関数は、群Gの部分群Hを渡すと、その全部の要素の、Gの要素ｇによる共役を計算したリスト
nameListを計算しながら表示します。そして、もとのHの要素の集合とnameListを蓄積したリストをユニークな集合にします。最後にそれを比較して、Hが正規部分群かどうかのメッセージを出します。
３．正規部分群から同型を作る
＜あみだくじでも同型にする＞
3本あみだG=S３＝{e, r=(1 2 3),s=(1 3 2), a=(2 3), b=(1 2), c=(1 3)]とするとき、
群Gを正規部分群N={e,r,s}で,NとT={a,b,c}の２つの剰余類に分割した。
すると、剰余類というマスクをかけることで、G/Nは奇数１，偶数０の加法群と同型な群になったね。
そのせいで、sN=Ns,aN=Na,......などになり
G=N+aN＝N＋Na=N+Tのように、Gを1つの決まった分解で表現できる。
G全体を正規部分群単位のわり算によって、きれいに分解できたわけだ。
あのガロアは、この分解のことを「固有分解」と呼んでいる。
6÷3＝2個の類（コセット）。
群÷群のところの回でわかったように、
剰余類（コセット）どうしの演算を代表元を使っても群となる。これを剰余群という。
群（G,*)と正規部分群N◁Gから新しい剰余群(G/N, ★)が作れた。
これって、群の同型を作る方法になっていたんだね。
ｆ：G/N → Z2={0 ,1}
演算：あみだの連結→剰余の加法
サイズ：ともに２
G/N≅Z2だね。
＜一般化しよう＞
G＝S3の正規部分群NでGを割ると、G/NはNとTの固まりに分かれ、剰余群（G/N.★）
Nが０、Tか１の２で割ったあまりの群Z2と
同型になった。これを写像ｆとすると、
ｆ(N)→０になるから、N＝kerf(ｆの核は正規部分群）ということだ。
そして、Z2=ｆ(G)
G/N=G/Kerfだから、
G/Kerf≅f(G)
#[IN]Python
#=====================前半は、基本関数=============
def ami2dic(ami):
return dict(zip(ami , ami[1:] + [ami[0]]))
def amis2dics(amis):
return [dict(zip(ami , ami[1:] + [ami[0]])) for ami in amis]
# ｋの辞書dic_aによる行先を返す。辞書にないなら行先はｋ。
def ami_go(k,dic_a):
return dic_a[k] if k in dic_a.keys() else k
#あみだの辞書a,bの連結をする。
def conL(a,b):#a,bの順に演算する。
keys = list(set(list(a.keys()) + list(b.keys())))
dic ={key:ami_go(ami_go(key,a),b) for key in keys if key !=ami_go(ami_go(key,a),b)}
if len(dic)==0:
dic={1:1}
return dic
def conR(a,b):#b,aの順に演算する。
return conL(b,a)
#アミダを、(辞書,名)のタプルのリストにする。
def rotdic(S,SN):
dic=[ami2dic(x) for x in S]
return list(zip(dic,SN))
# あみだ辞書dic_aを名で返す。
def name(dic_a):
global Nlist
return [item[1] for item in Nlist if item[0]==dic_a][0]
# あみだ辞書集dicsを名のリストで返す。
def names(dics):
global Nlist
return [item[1] for item in Nlist for b in dics if item[0]==b]
# あみだ辞書の集合Hと辞書aを演算した結果リストを返す。
def Ha(H,a):
global Nlist
res=[]
for b in H:
res +=[item[1] for item in Nlist if item[0]==conR(b,a)]
return res
def aH(a,H):
global Nlist
res=[]
for b in H:
res +=[item[1] for item in Nlist if item[0]==conR(a,b)]
return res
#=========================以上が基本関数====================
#辞書リストS,名リストSNから（辞書、名）のタプルのリストにする。
def Ndic(S,SN):
return list(zip(S,SN))
def igx(g,x):
global Ssize
n = Ssize
keys=[ami_go(k,g) for k in range(1,n+1)]
vals=[ami_go(ami_go(k,x),g) for k in range(1,n+1)]
return dict(zip(keys,vals))
def igxs(g,xs):
return [igx(g,x) for x in xs]
def anykey(d):
global Ssize
n = Ssize
keys=[k for k in range(1,n+1)]
vals=[ami_go(k,d) if ami_go(k,d)!=None else k for k in range(1,n+1)]
return dict(zip(keys,vals))
#=========ここからがデータ入力
Ssize=3
e={1:1,2:2,3:3}
s=anykey(ami2dic([1,2,3]))
r=anykey(ami2dic([1,3,2]))
b=anykey(ami2dic([1,2]))
c=anykey(ami2dic([1,3]))
a=anykey(ami2dic([2,3]))
S=[e,r,s,a,b,c]
E=[e,r,s]
A=[e,a]
B=[e,b]
C=[e,c]
SN=["e","r","s","a","b","c"]
Nlist=Ndic(S,SN)
#内部自己同型の演算表を作る
def make_auto(H):
global Nlist
targetset = set(names(H))
goalList= []
G = [x[0] for x in Nlist]
print("igの対象=",names(H))
for item in G:
nameList= names(igxs(item,H))
print(name(item),"→",nameList)
goalList.extend(nameList)
goalset=set(goalList)
print(targetset,"→",goalset)
msg = f"だから、{targetset}は正規部分群"
msg += "です。" if targetset == goalset else "ではありません。"
print(msg)
return True
print("G∍gによる内部自己同型")
make_auto(E)
make_auto(A)
make_auto(B)
make_auto(C)
#=========================================
[OUT]
G∍gによる内部自己同型
igの対象= ['e', 'r', 's']
e → ['e', 'r', 's']
r → ['e', 'r', 's']
s → ['e', 'r', 's']
a → ['e', 'r', 's']
b → ['e', 'r', 's']
c → ['e', 'r', 's']
{'s', 'e', 'r'} → {'s', 'e', 'r'}
だから、{'s', 'e', 'r'} は正規部分群です。
igの対象= ['e', 'a']
e → ['e', 'a']
r → ['e', 'b']
s → ['e', 'c']
a → ['e', 'a']
b → ['e', 'c']
c → ['e', 'b']
{'e', 'a'} → {'e', 'c', 'a', 'b'}
だから、{'e', 'a'} は正規部分群ではありません。
igの対象= ['e', 'b']
e → ['e', 'b']
r → ['e', 'c']
s → ['e', 'a']
a → ['e', 'c']
b → ['e', 'b']
c → ['e', 'a']
{'e', 'b'} → {'a', 'e', 'c', 'b'}
だから、{'e', 'b'} は正規部分群ではありません。
igの対象= ['e', 'c']
e → ['e', 'c']
r → ['e', 'a']
s → ['e', 'b']
a → ['e', 'b']
b → ['e', 'a']
c → ['e', 'c']
{'e', 'c'} → {'e', 'c', 'a', 'b'}
だから、{'e', 'c'} は正規部分群ではありません。
５．置換の型から正規部分群を作る
どんな置換の辞書も行先を出発点にしてたどり、たどり切れない出発点から同じことを繰り返すと、
巡回置換の集まりになるね。
この事実を、どんな置換も互いに素な巡回置換の積に分解できると言い表すこともできるね。
たとえば、対称群S10を考えよう。
置換A＝(1 2 3 4 5)(6 7 8)(1 2)と巡回置換への積分解ができるなら、置換Aの型は(5,3,2)型だという。
置換B＝(2 3 4 5 6)(7 8)(1 6 9)と巡回置換への積分解ができるなら、置換Bの型も(5,3,2)型だという。
大から小へ巡回置換のサイズをならべると同じになるとき、置換Aと置換Bは同じ型と呼ぶことにしよう。
対称群Snにかぎっては、部分群Nのどの置換の型も、NとN以外にまたがることがない。
つまり、置換の「同じ型について閉じている」なら部分群Nは正規部分群だ。
（例）S3={e,r,s,a,b,c}, N={e,r=(1 2 3),s=(1 3 2)},T={a=(2 3),b=(1 2),c=(1 3)}とすると、
Nのr,sは3型、e=(1,1,1)型でこれらの型はNの中に閉じ込められているから、Nは正規部分群だ。