Punt de Fermat en un Tetraedre regular?
Veurem pas a pas com construir aquest punt del tetraedre
Per començar cal dir que no sabem si realment té aquest nom, però és la generalització a tres dimensions del punt de fermat d'un triangle. En aquest cas buscarem el punt del tetraedre que ens surt al posar un tetraedre dins d'una mescla d'aigua i sabó. És a dir, el que ens dóna la bombolla de superfície mínima dins del tetraedre unint els quatre vèrtexs.
Per a fer-ho utilitzarem la calculadora gràfica 3D del Geogebra.
Ho pots fer en el Geogebra instal·lat en local clicant a Visualització ---> Finestra gràfica 3D, també ho pots fer en aquesta mateixa pàgina al final o a Calculadora gràfica 3D a la pàgina principal del Geogebra.
Per començar cal que cliquis a la icona del costat de la icona en forma de calculadora, que té de forma un triangle i una circumferència que tens a la barra blava a dalt a l'esquerra de la finestra.
En allà se't despleguen un munt d'icones, tot i això, en volem més, i cal clicar al "MÉS" que tens a baix de tot de les eines.
Podràs trobar una que diu Tetraedre 
Només cal que cliquis sobre dos punts i et sortirà el tetraedre. Canvia la vista per veure'l amb les ulleres 3D. Ara clica i mou el ratolí amb el botó dret clicat i veuràs com la figura gira. Pots girar-ne en totes direccions.
Només cal que cliquis sobre dos punts i et sortirà el tetraedre. Canvia la vista per veure'l amb les ulleres 3D. Ara clica i mou el ratolí amb el botó dret clicat i veuràs com la figura gira. Pots girar-ne en totes direccions.
Ara cal que vagis construint els tetraedres corresponents a cada cara del primer tetraedre.
És a dir, cada cara del tetraedre és un triangle equilàter, doncs aquest triangle serà la base d'un altre tetraedre. Per construir-lo, utilitzarem la mateixa eina Tetraedre: però caldrà anar en compte com escollim els punts. De cada cara tindrem 3 punts, i només ens caldrà escollir-ne dos. Però segons els que escollim i segons l'ordre en que ho fem, sortirà un tetraedre cap a dins o cap a fora, tal i com ens interessa. Aquí cal tenir en compte l'orientació o la Regla de la Mà dreta.
És per això, que si et surt un tetraedre cap a dins i no t'interessa, desfàs el pas i canvies l'ordre en què has escollit els punts per construir-lo. També pot ser que et quedi quasi ben posat, és a dir, que surt el tetraedre al costat de la cara que vols, però no acabi de quedar ben agafat a la cara, en aquest cas, cal que cliquis sobre el punt que és fora del tetraedre i el mous per tal de que s'hi quedi com vols.
En la següent imatge pots veure el primer tetraedre construït en una cara del tetraedre original:
però caldrà anar en compte com escollim els punts. De cada cara tindrem 3 punts, i només ens caldrà escollir-ne dos. Però segons els que escollim i segons l'ordre en que ho fem, sortirà un tetraedre cap a dins o cap a fora, tal i com ens interessa. Aquí cal tenir en compte l'orientació o la Regla de la Mà dreta.
És per això, que si et surt un tetraedre cap a dins i no t'interessa, desfàs el pas i canvies l'ordre en què has escollit els punts per construir-lo. També pot ser que et quedi quasi ben posat, és a dir, que surt el tetraedre al costat de la cara que vols, però no acabi de quedar ben agafat a la cara, en aquest cas, cal que cliquis sobre el punt que és fora del tetraedre i el mous per tal de que s'hi quedi com vols.
En la següent imatge pots veure el primer tetraedre construït en una cara del tetraedre original:
Repetim aquest procés a les quatre cares del tetraedre i ens quedarà un tetraedre al mig i els quatre del voltant. Per poder destacar el tetraedre del mig, el que podem fer és canviar-li el color i la opacitat. Per a poder-ho fer, ens cal clicar a la icona en forma de calculadora de dalt a l'esquerra, i cercar el primer cop que surt el nom de Tetraedre a la finestra algebraica, clicar als 3 punts a l'opció Configuració ---> Color ---> opacitat
Un cop fet, que no us serà senzill al principi, us ha de quedar una figura d'aquest estil:
Ara cal unir cada un dels vèrtexs exteriors dels Tetraedres exteriors amb el vèrtex oposat corresponent del vèrtex original.
Els unirem amb l'eina Segment: 
. Obtindrem 4 segments que es tallaran en un mateix punt, el qual és el que busquem. Per poder veure de forma més clara quin és aquest punt d'intersecció, el que farem és amagar els tetraedres exteriors, sense esborrar-los. Ho farem clicant a la finestra algebraica, buscarem els tetraedres i clicarem en el punt rodó al costat del nom de tetraedre, d'aquesta manera no es mostrarà el tetraedre, però si que veurem els segments com es tallen un mateix punt. Per acabar-ho de veure del tot clar, podem reduir l'opacitat del tetraedre del centre per veure el punt.
Aquest punt el farem destacar clicant a l'eina Intersecció: 
mentre cliquem a dos dels segments o el propi punt d'intersecció.
. Obtindrem 4 segments que es tallaran en un mateix punt, el qual és el que busquem. Per poder veure de forma més clara quin és aquest punt d'intersecció, el que farem és amagar els tetraedres exteriors, sense esborrar-los. Ho farem clicant a la finestra algebraica, buscarem els tetraedres i clicarem en el punt rodó al costat del nom de tetraedre, d'aquesta manera no es mostrarà el tetraedre, però si que veurem els segments com es tallen un mateix punt. Per acabar-ho de veure del tot clar, podem reduir l'opacitat del tetraedre del centre per veure el punt.
Aquest punt el farem destacar clicant a l'eina Intersecció: mentre cliquem a dos dels segments o el propi punt d'intersecció.
Ara ja només ens cal trobar un dels triangles que surten de sabó. Cal unir dos vèrtexs del tetraedre central amb el punt del mig.
Per fer-ho, utilitzarem l'eina Polígon: 
La següent construcció et mostra el resultat de tot el procés, els botons de l'esquerra són per escollir el que vols veure i el que no.
Per utilitzar els botons de mostrar objectes o no en el GeoGebra es fa utilitzant l'eina Botó 
i escollint els elements que vols mostrar i els que no.
i escollint els elements que vols mostrar i els que no.
Segon mètode per trobar el Punt de Fermat en un Tetraedre regular
Només cal repetir el mateix procés, però en comptes de calcular el tetraedre exterior corresponent a cada cara del tetraedre original, el que calculem a cada cara del tetraedre és: recta ortogonal a la cara que passa pel vèrtex oposat del tetraedre.
Igual que la construcció anterior, aquestes 4 rectes es tallen en un mateix punt, que és el punt de Fermat.