Análise dos Nove Elementos
Analise dos Nove Primeiros exemplos
Nome: Germano e William Turma: 3º informática
Trabalho sobre o princípio de Cavalieri
O princípio do Cavalieri, de uma forma bem resumida, afirma que:
Dois Objetos de bases com áreas iguais, assim como alturas também
iguais e com formas diferentes, tendem a possuir o mesmo volume. Ou
seja, quando dois prismas (ou esferas, etc...), possuírem bases de
áreas idênticas, e coincidirem também em altura, consequentemente e
obrigatoriamente, seu volume será o mesmo.
1ª Projeto escolhido no Geogebra Books: Como podemos observar neste
primeiro exemplo, temos dois sólidos que diferem entre sí, um deles
é um prisma e o outro consiste em um cilindro. Além disso, um deles
(cilindro), está posicionado em um ângulo exato de 90° enquanto o
prisma está levemente inclinado. Apesar disto, considerando a altura
(h) e a área da base de ambos como iguais, é possível
desconsiderar o fator inclinação e concluir assim que ambos possuem
o mesmo volume.
2º Projeto escolhido no Geogebra Books: Neste segundo projeto
escolhido, observamos que com as mesmas formas geométricas, quando
corretamente agrupadas, é possível realizar a formação de duas
formas geométricas diferentes. Neste caso específico, temos um
quadrado e um hexágono, e com as mesmas “peças” é possível
preencher as duas imagens, formando-as. Provando mais uma vez por
meio deste exemplo, que em peças de áreas iguais e alturas
(irrelevantes neste caso) iguais, o volume ocupado será o mesmo.
3º Projeto escolhido no Geogebra Books: Esse projeto mostra que não
é preciso dois prismas terem os lados iguais para terem o mesmo
volume, o que importa é a área da base e a altura do mesmo.
4º e 5º Projetos escolhidos no Geogebra Books: O quarto e quinto
projetos selecionados no Geogebra, demonstram de uma forma bastante
prática a teoria cavalieri; uma vez que, independente do tipo de
pirâmide que for, se a área da base e a altura forem as mesmas, o
volume será o mesmo, não variando também se a pirâmide for
cortada ao meio, pois com isso, diminuirá a sua altura final assim
como a área da sua base, proporcionalmente, de maneira que o volume
permaneça igual.
6º Projeto escolhido no Geogebra Books: Este projeto, é muito interessante, pois nos permite visualizar por meio de uma perspectiva 3D como dois prismas com bases completamente diferentes, sendo estes por exemplo um quadrado e um triângulo, podem possuir o mesmo volume quando quando possuírem áreas e alturas iguais. Estes prismas ainda podem variar muito apenas acrescentando ou removendo um lado, de forma que possamos obter por exemplo um sólido com base triangular ou quadrangular, até mesmo um com 6 ou 7 lados. Contudo, independente disto, se a área e altura permanecerem estáveis, o volume final ainda será semelhante.
7º Projeto escolhido no Geogebra Books: Quando pensamos emduas pirâmides sobrepostas, como no sétimo exemplo, ao movimentarmos o vértice central (no topo), de uma das pirâmides, enquanto a outra se mantém estática no mesmo lugar, vários questionamentos podem surgir, como por exemplo, em que ponto o volume final das pirâmides será o mesmo, e quando o volume da movimentada será maior e/ou menor que a outra? Bem, podemos apenas afirmar com certeza que quando ambas as pirâmides estiverem exatamente sobrepostas, seu volume evidentemente será igual, considerando que sua área da base e sua altura também sejam as mesmas. Contudo se posicionarmos a outra pirâmide em um ângulo vertical? Não é
possível saber com precisão qual seria a diferença entre os volumes, contudo, é perfeitamente possível afirmar de acordo com a altura e inclinação qual delas possuirá um volume final maior,
visto que independente de haver ou não esta inclinação a área da base continuará sendo a mesma e por outro lado a altura não será mais a mesma visto que quando inclinada ou posicionada de forma diferente, a altura obrigatoriamente altera (para mais ou para
menos).
8º Projeto escolhido no Geogebra Books:Com essa construção estamos tentando ilustrar o fato de que a soma da área do local ondo foi feito o "corte" da esfera com o local em que foi feito simultaneamente o "corte" no cone será igual em qualquer lugar que resolvermos testar. Isso é explicado pelo feito de que o raio da base da esfera e da esfera em si é igual, tendo tambem de ser iguais a altura, e raio do cone.
9º Projeto escolhido no Geogebra Books: Esse projeto nos mostra como tetraedros com a aparência totalmente diferente, podem ter o mesmo volume. O que proporciona isso é o fato deles terem a mesma altura, o que muda são as 3 arestas que não formam a base. De vez em quando temos dificuldade de perceber do porque tetraedros irregulares tem volumes iguais ao de alguns regulares, mas quando conhecemos o principio de Cavalieri tudo fica mais simples e de fácil compreensão.