２０．不定積分と定積分
１．不定積分は微分の逆演算
＜積分の歴史をざっくりと＞
積分は主に曲線がかこむ面積を求める技術です。面積だけでなく、体積・曲線の長さの
まさに、計算[calculation]の技術として、古代からありました。
微分とは無関係に、古代ギリシャからあったのです。アルキメデスが独自に発展させました。
その方法とは、曲線に接する三角形をかく、スキマにも三角形をかく、それを繰り返す。
取り尽くし法[method of exhaustion]とも言われるものです。
無限でなはないにしろ、曲線のかこむ面積を、三角形の面積の合計で近似するという発想ですね。
その後、
デカルトは正葉線という曲線が作る面積を出す方法を作り出した。
ニュートンは微積分の記号ではなく、「無限級数」を使って面積、接線などの曲線の問題を図形的に解いた。
ライプニッツは今使われるようになった「微分・積分の記号dx,dy,∫など」を使って問題を解いた。
オイラー・フェルマーの時代になると微分、積分、無限級数が数学の多様なテーマにつながっていき、驚異的な進化をみせるが、まだ、無限大、無限小を前提にしていた。
それから、コーシーとリーマンなどが数学の集合論的な基礎づけにより、現密な「微積分学」という研究分野に統合されました。リーマンは曲線をたてに刻んで、かこむ面積を、刻んでできる長方形の面積の合計でだす、リーマン積分を作った。高校で学ぶのはリーマン積分。
たとえば、円錐の体積は定積分を使うと簡単だが、無限級数の和で求めるのは少し大変だ。
（例）半径ｒ、高さｈの円錐の体積は高さをｎ等分して、うすい円柱の積み重ねとして見る。
外接円柱群でやると、半径はr/nの倍数で、頂点からｋ番目の半径はk(r/n)になる。
上からｋ番目の体積の数列は、π(k(r/n))2・h/n＝Ck2となる。（C=πr2h/n3)
V(n)= ∑Ck2=C∑k2=C・n(n+1)(2n+1)/6=πr2h/n3 ・n(n+1)(2n+1)/6
＝πr2h/6・2n(n+1)(n+1/2)/n3=1/3・πr2h・1(1+1/n)(1+1/2n)
limV(n)(n→∞)=1/3・πr2h・1(1+0)(1+0)=1/3・πr2h・1=πr2h/3
無限という発想がないと、∑計算でも正確には求められないことがわかる。
＜不定積分＞
不定積分（逆微分、反微分）[Antidifferentiation、backward differentiation]は微分の反対、逆の操作。
F'(x)=f(x) ⇔ ∫f(x)dx=F(x)+C (積分定数）
F(x)を原始関数(antiderivative)と読んだりします。
だから、 (積分して微分するともとに戻る！微積分の基本定理）
微分したあとの関数は次数Nを定数Nを係数としてかけて、次数がN-1＝ｎになった。
これをもとに戻すには、次数n=N-1を次数N=n+1にもとす。係数をN＝n+1で割る。
つまり、次数nを１増やして係数を割って、指数も１増やす。
∫xndx=1/(n+1)∫xn+1+C （べき乗単項式ルール Power Rule)
∫(f+g)dx=∫fdx+∫gdx, ∫k・fdx=k∫fdx (和、差、倍の線形ルール）
★級数で円錐の体積
２．定積分は差
＜定積分とは＞
もとの関数f(x)をｘがa以上b以下という定まった区間で積分することを
定積分（確定的な集積、統合）[definite integration,integral]という。
定積分は代入値の差である。
不定積分関数をF(x)+Cとするとき、
と不定積分の差でCが消える。
aが小、ｂが大という大小順で通常使う。
bはbigのｂと覚えたり、定積分はF（大）ーF（小）とか、F(右）ーF（左）
と覚えても良い。
＜定積分は差である＞
線形ルールはもちろん、不定積分と同じく使える。
「定積分は積分区間値の差だ」と考えてみると、
a-a＝０から
a-b=-(b-a)から区間の大小を逆にしても意味はあるが、大小、左右を逆に入れると負の数になる。
a-b=a-c+c-bから、
＜微積分の基本定理＞
積分定数に着目する。
積分区間が定数ならば、積分値は定数になる。
(定数）
積分区間に変数があると、積分値はtをｘにしただけの関数になる。(微積分の基本定理）
（例）次の等式をみたす関数f(x)は？
f(x)=
積分区間が定数なので、とおける。
f(x)=3x2+cx+1となり、
したがって、c=4となるから、f(x)=
（例）次の等式をみたす関数f(x)は？
f(x)=
積分区間が定数なので、とおける。
f(x)=x+ax+b+1=(a+1)x+b+1となり、
a,bを解くと、a=-10/13,b=-8/13。 したがって、f(x)=
（例）g(1)=8であり、次の等式を満たす関数g(x)と定数ｋを求めよう。
微積分の基本定理に、積分区間に変数と定数をもつ不定積分を微分すると、ｔをｘにした関数になる。
両辺を微分する。
(3x+1)g(x)=4g(x)+15x2-6x-9 、g(x)でまとめると、g(x)(3x-3)=3(5x2-2x-3)
3g(x)(x-1)=3(5x+3)(x-1)から、(x-1)(g(x)-(5x+3))=0となる。
xが1でないときg(x)=5x+3だが、g(1)=8からx=1でもg(x)=5x+3となる。
x=1を微分前の式に代入すると、0=4[G(1)-G(k)]+5-3-9-17となる。
G(x)=5/2x2+3xだから、4[(5/2+3)-(5/2k2+3k)]=24。5k2+6k+1=(5k+1)(k+1)=0。 k=-1, -1/5。
３．基本関数の不定積分
＜不定積分は逆微分＞
証明というよりも、不定積分された関数を微分してもとに戻るかを確認してみよう。
逆微分
∫(cosx) dx = sinx+C
（理由）(sinx+C)'=cosxだから。
∫(sinx) dx = -cosx+C
（理由）(cosx+C)'=-sinxだから,(-cosx)'=-(cosx)'=-(-sinx)=sinx
∫(tanx) dx = −ln|cosx|+C
（理由）
z=lny, 真数条件からy=|cosx|＞０として、連鎖法則dz/dx=dz/dy ・dy/dxをつかうと、
(ln(|cosx|)+C)'=1/|cosx|・sinx=sinx/cosx=tanxだから
∫(1/x) dx=ln|x|+C
（理由）真数条件からｘを|x|として、 (ln|x|+C)'=1/xだから、
∫(ex) dx=ex+C
（理由） (ex+C)'=ex だから
∫(ax) dx=ax /lna+C
（理由）（ax)'=axlnaと商の微分から、
( ax /lna+C)'=