ES LLC 1
Given two parallel lines l1,l2 and a circle Γ, construct a circle tangent to l1, l2, Γ.
PROCEDURA:
Siano due rette l1 e l2 parallele e sia Γ una circonferenza di centro O e raggio OB, con O e B punti qualsiasi (se il centro di Γ non è dato lo posso trovare usando l'esercizio 2.7). Osserviamo che Γ deve essere interna alle due rette date oppure intersecarne almeno una (in uno o due punti), altrimenti è impossibile costruire una circonferenza che sia tangente a l1, l2 e Γ.
- Sia A un punto qualsiasi di l2. Traccio la perpendicolare a l2 passante per A. Sia H il suo punto di intersezione con l1.
- Traccio l'asse del segmento AH. Sia I il punto medio di AH.
- Denoto con R la lunghezza del raggio di Γ e con r la lunghezza del segmento AI. Traccio quindi una circonferenza di centro O e raggio di lunghezza R+r. Siano L e M i suoi punti di intersezione con l'asse di AH.
- Traccio la circonferenza di centro L e raggio r e quella di centro M e raggio r. Esse sono tangenti a l1, l2 e a Γ (esternamente).
- Osserviamo che la circonferenza cercata, in particolare, deve essere tangente alle rette parallele l1 e l2, quindi il suo centro deve essere equidistante da queste due rette, ovvero deve appartenere all'asse di AH. Tutte le circonferenze con centro appartenente all'asse di AH e di raggio r sono tangenti sia a l1 che a l2, perchè, per costruzione, il loro raggio risulta essere perpendicolare sia a l1 che a l2 nei punti di intersezione. Dobbiamo trovare quale circonferenza, tra queste, è tangente anche a Γ.
- Due circonferenze sono tangenti esternamente se la somma dei loro raggi è uguale alla distanza tra i loro centri. Quindi una circonferenza di raggio r è tangente esternamente a Γ se il suo centro appartiene alla circonferenza di centro O e raggio R+r.
- Mettendo assieme le condizioni scritte sopra, troviamo che le uniche circonferenze tangenti a l1, l2 e Γ (esternamente) sono quella di centro L e raggio r e quella di centro M e raggio r, dato che L e M sono proprio i punti di intersezione dell'asse di AH con la circonferenza di centro O e raggio R+r.