Funkcja uwikłana w otoczeniu punktu
Niech punkt będzie ustalonym rozwiązaniem równania
.
Dalej będziemy zajmować się problemem istnienia funkcji uwikłanej powyższym równaniem i określonej na pewnym otoczeniu punktu (lub otoczeniu punktu ). Taka funkcja może nie istnieć, ale może też być ich kilka, co ilustruje poniższe ćwiczenie.Ćwiczenie.
Podany aplet przedstawia zbiór opisany równaniem dla funkcji (por. Lemniskata Gerona). Swobodny punkt leży na krzywej , rozważamy funkcje zmiennej uwikłane równaniem , których wykres przechodzi przez punkt .
Zastanów się, zmieniając położenie punktu , dla jakich punktów możemy wskazać otoczenia, na których istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana. Przez które punkty przechodzi więcej niż jedna funkcja uwikłana i w otoczeniu których nie istnieje żadna funkcja uwikłana? Co się dzieje w otoczeniu wskazanych punktów , , i ?
Suwakami i możemy zmieniać wielkość prostokątnego otoczenia punktu .
Odpowiedź. Dokładnie jedna funkcja zmiennej uwikłana równaniem istnieje w otoczeniu punktu
Kilka funkcji zmiennej uwikłanych równaniem przechodzi przez punkt
Ponadto dokładnie jedna funkcja zmiennej uwikłana równaniem istnieje w otoczeniu punktu