큰 수의 법칙 설명
지오지브라에서 확률 계산기를 선택하면 다음과 같은 화면이 나타난다. n을 점차 증가시키면 이항분포와 정규분포 곡선의 차이가 줄어드는 것을 확인할 수 있다.
이 때 이항분포의 그래프는 n의 값이 커질수록 정규분포 곡선에 가까워짐을 알 수 있다. 실제로 확률변수 X가 이항분포 B(n , p)를 따를 때, n이 충분히 크면 X는 근사적으로 평균이 np이고 분산이 npq인 정규분포 N(np, npq)를 따른다는 사실이 알려져 있다(단, q=1-p).
예를 들어 확률변수 X가 이항분포 B(400, 1/2)을 따르면 이 분포는 정규분포 N(100, )을 따른다. 이 경우 P(170≤X≤205)를 구하는 과정은 다음과 같다.
확률변수 X가 이항분포 B(400, 1/2)을 따르므로
E(X) = 400 = 200
(X) =
이 때 400은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(200,)을 따른다.
따라서 확률변수 은 표준정규분포 N(0,1)을 따르므로
지오지브라에서 확률 계산기를 사용하여 앞의 P(170≤X≤205)를 구하려면 다음과 같다.
분포에서 이항분포를 선택한 후 n은 400, p는 0.5를 입력하고 170과 205를 차례로 입력하면 0.7077이라는 값을 구할 수 있다.
또한 정규분포를 선택하고 μ가 200이고 σ가 10인 경우에 대하여 확률계산기를 사용하면 다음과 같다.
두 분포는 서로 근사적인 관계이기 때문에 아주 약간의 값이 차이가 난다. 하지만 약 0.7정도라는 점에서 거의 가깝다고 할 수 있다.