Lösung als Winkelhalbierende
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4 verschiedene Punkte können stets durch eine Möbiustransformation auf 4 Punkte in "Normallage" abgebildet werden. Lösungskurven der elliptischen Differential-Gleichung sind für geeignetes Winkelhalbierende der sich schneidenden Kreise aus 2 der möglichen elliptischen Kreisbüscheln, die man mit den 4 Brennpunkten bilden kann. Besondere Lagen:- Die 4 Punkte sind konzyklisch - sie liegen auf einem Kreis: Das Doppelverhältnis ist reell, die absolute Invariante ist reell und nicht negativ. Für geeignetes sind konfokale 2-teilige bizirkulare Quartiken Lösungskurven.
- 2 der Punktepaare liegen spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen: Das Doppelverhältnis ist bei geeigneter Reihenfolge vom Betrag 1, die absolute Invariante ist reell und nicht positiv.
- Harmonische Lage: die 4 verschiedenen Brennpunkte sind konzyklisch und liegen spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen. Bei geeigneter Reihenfolge ist das Doppelverhältnis -1 und die absolute Invariante ist 0. Z.B.: f liegt auf oder f liegt auf . Es gibt 2-teilige und 1-teilige geschlossene bizirkulare Quartiken als Lösungeskurven. Sie schneiden sich unter Vielfachen von 45°.
- Tetraeder-Lage: die absolute Invariante ist -1. Die Brennpunkte sind die Ecken eines regulären Tetraeders. Geschlossene Lösungskurven sind 1-teilige bizirkulare Quartiken, die sich unter Vielfachen von 30° schneiden. Z.B.: f liegt auf .