Lineare Gleichungssysteme
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen lässt sich rechnerisch oder zeichnerisch lösen.
Die rechnerischen Lösungsverfahren sind:
- Einsetzungsverfahren
- Additionsverfahren
- Gleichsetzungsverfahren
Alle drei Verfahren haben ihre Berechtigung. Und jedes Verfahren kann bei den Gleichungssystemen eingesetzt werden.
Aber: Es gibt immer eines, was am schnellsten zu Ziel führt, daher lohnt sich ein Blick.
Gleichsetzungsverfahren: Wenn in beiden Gleichungen jeweils ein Term identisch ist, geht es damit am schnellsten.
Einsetzungsverfahren: Wenn in einer Gleichung ein Term vorkommt, den man direkt in einen Term der anderen Gleichung einsetzen kann, dann ist dieses Verfahren am schnellsten.
Additionsverfahren: Wenn sich in beiden Gleichungen eine Unbekannte gegenseitig aufhebt, dann ist das das Schnellste.
Einsetzungsverfahren
Das Einsetzungsverfahren nutzt man, wenn man einen Term einer Gleichung geschickt in einem Term der anderen Gleichung einsetzen kann. Dadurch kann man aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten erstellen. So ist eine Lösung möglich.
Beispiel:
Erste Gleichung:
(1)
Zweite Gleichung:
(2)
Wir können nun den rechten Term der ersten Gleichung in den linken Term der zweiten Gleichung einsetzen, da wir dadurch die Variable y vorübergehend entfernen können.
(1) (2) --> (1)in(2)
Nun lösen wir nach x auf:
Setzen wir x jetzt in eine (oder beide) Ausgangsgleichung(en) ein, dann haben wir das Lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren gelöst:
(1)
(2) | : 2
(2)
Die Lösung lautet (3 | 15)
| | | ausmultiplizieren |
| | | - 8x |
| | | : 2 |
| |
Additionsverfahren
Das Additionsverfahren nutzt man, wenn man einen Term einer Gleichung geschickt mit einem gleichen Term bei der anderen Gleichung "verschwinden" lassen kann. Dadurch kann man aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten erstellen. So ist eine Lösung möglich.
Beispiel:
Erste Gleichung:
(1)
Zweite Gleichung:
(2)
Wir können nun den y-Wert der ersten Gleichung mit dem y-Wert der zweiten Gleichung addieren, da wir dadurch die Variable y vorübergehend entfernen können.
(1) (2) --> (1)+(2)
Nun lösen wir nach x auf:
| zusammenfassen
Setzen wir x jetzt in eine (oder beide) Ausgangsgleichung(en) ein, dann haben wir das Lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren gelöst:
(1)
(1) | + 12
(1)
(2)
(2) | + y
(2)
Die Lösung lautet (3 | 15)
Gleichsetzungsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren nutzt man, wenn man bei beiden Gleichungen jeweils den gleichen Term finden kann. Dadurch kann man aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten erstellen. So ist eine Lösung möglich.
Beispiel:
Erste Gleichung:
(1)
Zweite Gleichung:
(2)
Wir können nun den rechten Term der ersten Gleichung in den linken Term der zweiten Gleichung einsetzen, da wir dadurch die Variable y vorübergehend entfernen können.
(1) (2) --> (1) und (2)gleichgesetzt:
Nun lösen wir nach x auf:
| - 4x
Setzen wir x jetzt in eine (oder beide) Ausgangsgleichung(en) ein, dann haben wir das Lineare Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren gelöst:
(1)
(2)
Die Lösung lautet (3 | 15)
Lineare Gleichungen - zeichnerisch gelöst
Zur zeichnerischen Lösung werden die beiden Gleichungen als Geraden dargestellt Man unterscheidet drei Möglichkeiten:
1. Die Geraden schneiden sich in S
es gibt genau eine Lösung
![[size=85]2. Die Geraden sind zueinander parallel.
es gibt keine Lösung [math]L=\left\{\right\}[/math][/size]](https://www.geogebra.org/resource/ytbt6uf8/Q7xStrN588Isv8IG/material-ytbt6uf8.png)
![[size=85]3. Die Geraden sind identisch
es gibt unendlich viele Lösung[/size]](https://www.geogebra.org/resource/sjhpr7kw/yGhGKlKNRr7k0KHU/material-sjhpr7kw.png)
![[size=85]3. Die Geraden sind identisch
es gibt unendlich viele Lösung[/size]](https://www.geogebra.org/resource/wzsmtmxb/sodonIOw8saPWRWN/material-wzsmtmxb.png)