Homotetia
A homotetia é uma transformação geométrica que consiste em ampliar ou reduzir uma figura mantendo sua forma, gerando uma figura semelhante à original. A homotetia, também conhecida como dilatação ou transformação de escala, não é uma transformação isométrica porque não preserva as distâncias entre os pontos de uma figura. Em uma transformação isométrica , como translação, rotação ou reflexão, as distâncias entre quaisquer dois pontos da figura original, por exemplo e , são mantidas iguais na figura transformada, ou seja, sendo e . Isso significa que as figuras resultantes de transformações isométricas são congruentes à figura original, preservando tamanho e forma. Embora a homotetia preserve a forma geral e a proporção dos ângulos da figura, ela pode alterar o tamanho, o que significa que as figuras homotéticas são, na maior parte das vezes, semelhantes, dependendo da razão aplicada.
Essa transformação é realizada por meio de um ponto fixo, chamado de centro de homotetia, e um fator de escala (razão) que determina o quanto a figura será ampliada ou reduzida. Na homotetia, todos os pontos da figura original são movidos em linha reta a partir do centro de homotetia, mantendo sempre a mesma direção em relação ao centro.
No GeoGebra, o comando utilizado para realizar homotetias é o comando Homotetia, quando utilizada a versão em Língua Portuguesa. As opções de homotetia incluem homotetia de um objeto e uma razão, e a homotetia de um objeto, segundo uma razão e em relação a um ponto. Iremos, neste trabalho, nos concentrar na opção de realizar a homotetia de um objeto em relação a um ponto segundo uma determinada constante (razão de semelhança), sendo que a homotetia do polígono ABCDEF segundo a razão 2,0 em relação ao ponto O é realizada pelo comando Homotetia(pol1, 2, O), da seguinte forma:
Para realizar uma atividade envolvendo a ampliação de um polígono, acesse o aplicativo GeoGebra Geometria por meio do link https://www.geogebra.org/geometry/ghstcev7 e siga os passos propostos, sendo eles:
- Insira os pontos A, B, C, D, E, e F no plano cartesiano
.
- Crie o polígono ABCDEF com os pontos inseridos
. - Crie um ponto O .
- Realize a homotetia do polígono ABCDEF em relação ao ponto O segundo uma razão k = 2. Para tanto, no campo de entrada é possível utilizar o comando Homotetia(objeto, razão, ponto), em que o objeto selecionado deve ser o polígono ABCDEF (pol1), a razão um valor, por exemplo 2, e o ponto deve ser o ponto O criado. Outra maneira é utilizar o botão homotetia clicando em
. Observe que, ao realizar a homotetia do polígono ABCDEF (pol1), o GeoGebra automaticamente amplia o polígono original para gerar o novo polígono AB´10C´10D´10E´10F´10 (pol1´10).
Figura 12 - Homotetia do polígono ABCDEF no GeoGebra.
