１８．微分とグラフ
１．微分と直線
＜接線＞
y=f(x)のグラフ上の点(a,f(a))での接線の方程式
傾きm=f'(a)だから、y=f'(a)(x-a)+f(a)。
（例）f(x)=x3-3xの接線を次の条件で求めよう。(1) (-2,-2)で接する（2) (2,2)を通る。
m=f'(x)=3x2-3。(1)y=f'(-2)(x+2)-2=(3(-2)2-3)(x+2)-2=9x+16
(2)（a,f(a)）が接点なら、接線はy=f'(a)(x-a)+f(a)。
2=f'(a)(2-a)+f(a)がなりたつ。2=(3a2-3)(2-a)+a3-3a 。 -2a3+6a2-8=0。
a3-3a2+4=(a+1)(a2-4a+4)=(a+1)(a-2)2=0 a=2,-1。
a=2のとき、f(a)=23-3・2=2。f'(2)=3・22-3=9。y=9(x-2)+2=9x-16。
a=-1のとき、f(-1)=-1+3=2,f'(-1)=0。y=0(x+1)+2=2。y=2。
＜平均値の定理＞
グラフが微分可能（連続して、とがった点がない）ならグラフ上の２点A,Bを通る直線の傾きと同じ傾きの接線が引ける点Cがあり、x座標はCがA,Bの間にある。
正式な言い方では、ｙ＝ｆ(x)のグラフが、xがa以上b以下の区間でなめらかにつながっている（微分可能）とき、次の式を満たす実数ｃが存在する。f'(c)= (cはaとbの間）
＜法線＞
y=f(x)のグラフ上の点(a,f(a))での法線の方程式
傾きm=-1/f'(a)だから、y=-1/f'(a)(x-a)+f(a)
２．微分と曲線
曲線の関数を微分することで、曲線の形[shape of curves]を知ることができます。
微分した関数の値が０または未定義になるｘを臨界数[critical number]といいます。
臨界数の前後での符号変化によって、曲線の形状がわかります。
＜極大・極小＞
関数f(x)について、
導関数f'(x)の値が０になるｘの値をaとする。
x=aでf'(x)の値が（ー）から（＋）に変わるとき、f(x)はｘ＝aで減少から増加に転じる。
だから、x=aはその付近では谷底になる。別の場所にもっと深い谷があるかもしれない。
全体の中の最小とは限らないので、極小値[local or relative minimum]という。
反対の場合、
x=aでf'(x)の値が（＋）から（ー）に変わるとき、f(x)はｘ＝aで増加から減少に転じる。
だから、x=aはその付近では山頂になる。別の場所にもっと高い山があるかもしれない。
全体の中の最大とは限らないので、極大値[local or relative maximum]という。
＜どちらに凸か？＞
２次の導関数f''(x)>0の区間では、y=f(x)のグラフは下に凸になる。傾きが増加傾向ということ。
２次の導関数f''(x)<0の区間では、y=f(x)のグラフは上に凸になる。傾きが下降傾向ということ。
２次の導関数f''(x)＝0のy=f(x)のグラフは変曲点といい、符号が変化する。
＜N次関数の極大・極小＞
２次関数は頂点で最大か最小になった。
・３次関数f(x)の導関数がf'(x)=g(x)=a(x-p)(x-q)（pが小、qが大）のとき、
aが正なら、p,qを境に、＋、ー、＋となる。
ということはｘ＝pで極大、x=qで極小となる。
aが負なら、p,qを境に、ー、＋、ーとなる。
ということはｘ＝pで極小、x=qで極大となる。
・３次関数f(x)の導関数がf'(x)=g(x)=a(x-p)2ゼロ以上のとき、
x=pで０で、pを境に＋、＋が続くので、極大でも極小でもない。
この点を境に上に凸と下に凸が入れ替わる。変曲点[inflection point]という。
この点で交差接線がひける。
もう１回微分すると、f''(x)=2a(x-p)となるので、x=0となる。x=pの前後で符号が変わる。
・３次関数f(x)の導関数がf'(x)=g(x)が２つの虚数解をもつときはすべて正かすべて負。
f(x)は単調増加か単調減少。
（例）f(x)=ｘ3+ax2+bx+15＝０がx=3で極小値-12をもつようなa,bの値と極大値は？
f'(x)=3x2+2ax+b=0で、f'(3)=27+6a+b=0、f(3)=27+9a+3b+15=0。これらから、a=-3.b=-9。
f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)=0。x=-1。極大値f(-1)=-1-3+9+15=20。
・分数次関数でもｎ乗微分ルールを使ってみよう。
f(x)=2x-3x2/3+4, f'(x)=2 -2x-1/3= となり、x=0で未定義[undefined]となるが、
０を境に（＋、ー）と入れ替わる。
傾きはｘが負なら２より大で正、傾きはｘが正なら１までは負でｘ＝１で０になるがｘが１より大で正になる。
さらに微分すると、f''(x)=2/3x-4/3=
f''(1)=2/3>0だから、x=１から増加に転じる。
全体の形は、ｆ（ｘ）はｘが負で増加するが、ｘ＝０を境に減少しｘ＝１が極小値となる。
・高次関数でもｎ乗微分ルールを使ってみよう。
f(x)=3x5- 20x3
f(-x)=-3x5+20x3=-f(-x)から、原点対称になる。
f'(x)=15x4-60x2=15x2(x2-4)=0の解はx=0,2,-2。
f(-3)>0,f(-1)<0,f(1)=f(-1)<0,f(3)=f(-3)>0から、極値はf(2)=-64,f(-2)=64。
f''(x)=60x3-120x=60x(x2-2)=0の解はx=0,√2,-√2。（０，０）は変曲点。
★分数次関数の極値は？
★高次関数の形は？
３．多項式以外の関数の微分
＜極限値＞
x→0のときのsinx/xの極限値=1
（理由）
角Aがx（ラジアン）で、AB=AC＝１の二等辺三角形ABCをかくと弧BC=ｘとなる。
ｘ＞０のとき、
角Aが共通でBが直角の直角三角形ABDをかく。
△ABCの面積<扇形の面積<△ABDの面積となるので、1/2・1・1sinx<1/2・1・x<1/2・1・tanx
式変形にようって、sinx/xは、cosxと１に挟まれる。そしてx→0のときのcosxの極限値＝1。
だから、挟み撃ちでx→0のときのsinx/xの極限値=1
ｘ＜０のときは、t=-xなどとおいて、式変形で証明できる。
x→0のとき、ln(1+x)/xの極限値＝1
（理由）eの定義から、x→0のとき(1+x)1/xの極限=e
辺々自然対数ln(=loge)をとると、ln(e)=1で、limはlnの外に出せるので、
x→0のとき、(1+x)1/xの極限値のln＝ln(1+x)1/xの極限値=ln(1+x)/xの極限値=1
x→0のとき、(ex-1)/xの極限値＝1
（理由) 上記の「x→0のときln(1+x)/x＝１」を
この式の1+x=etとおくと、t=ln(1+x)=ln(et)で、x=et-1となり、x→0なら、t→0。
ln(1+x)/x=ln(et)/(et-1)=t/(et-1)の極限値＝１。逆数にして(et-1)/tの極限値＝１
＜三角関数＞
(sinx)'=cosx
(理由）sinAB和-sinAB差＝2sin大Acos小Bの和差算(sin和の展開の前半がかぶる)で、
差の商のh倍＝sin(x+h)-sinx=2sin((x+h)+x)/2)cos((x+h)-x)/2)
=
導関数＝
(cosx)'=-sinx
(理由）cosAB和-cosAB差＝-2sin大Asin小Bの和差算(cos和の展開の後半がかぶる）で、
差の商のh倍＝cos(x+h)-cosx=-2sin((x+h)+x)/2)sin((x+h)-x)/2)
=
導関数＝
(tanx)′=1/cos2x
（理由）商の微分公式(f/g)'=(f'g-fg')/g2
(sinx/cosx)'=(sinx'cosx-sinxcosx')/cosx2=(cos2x+sin2x)/cos2xから。
＜指数対数関数＞
(ex)′=ex
（理由）
差の商のh倍=e(x+h)-ex=ex(eh-1)
導関数＝
(lnx)′=1/x
t=h/xとおくと、h=xt
差の商のh倍=ln(x+h)-ln(x)=ln(1+h/x)
導関数=
(logax)′=1/(x lna)
1/lnaは定数だから、
(logax)'=(lnx/lna)'=1/lna・(lnx)'=1/lna・1/x=1/(x lna)