Die Flächeninhaltsfunktion
Darum geht es:
Worum geht es?
Sie sollen in der nächsten Zeit die Integralrechnung erlernen.
Es gibt verschiedene Zugänge zur Integralrechnung. Das bedeutet, dass man die Integralrechnung auf unterschiedliche Weise erlernen kann.
Die Flächeninhaltsfunktion ist ein innermathematischer, geometrischer Zugang.
In einem weiteren Abschnitt zeige ich Ihnen den Zugang über Sachkontexte.
Dieser Abschnitt richtet sich an Grundkurse.
Das erste Applet zeigt anschaulich, was eine Flächeninhaltsfunktion ist. In der oberen Grafik ist eine Funktion abgebildet Die Funktionsgleichung spielt erst einmal keine Rolle.
Auf der x-Achse finden Sie ein kleines Dreieck, mit der eine Stelle auf der x-Achse markiert wird. Sie können dieses Dreieck mit der Maus bewegen.
Zwischen x=0 und der markierten Stelle auf der x-Achse wird die Fläche zwischen x-Achse und Funktionsgraph rosa eingefärbt. Der Flächeninhalt der Fläche wird angezeigt.
Wenn Sie die Markierung auf der x-Achse bewegen, bewegt sich in der zweiten Grafik ebenfalls ein Punkt. Die x-Koordinate des Punktes entspricht der markierten x-Koordinate aus der oberen Gleichung und die y-Koordinate entspricht dem Flächeninhalt der dargestellten Fläche.
Wenn Sie in der zweiten Gleichung den Haken setzen, dann können Sie die gesamte Spur des Punktes sehen. Dieser Graph ist der Graph der Flächeninhaltsfunktion.
Im Folgenden wird es darum gehen, eine Methode zu finden, wie man die Flächeninhaltsfunktion aus der ursprünglichen Funktion bestimmen kann.
Offensichtlich ist Geogebra in der Lage, den Flächeninhalt zu berechnen.
Aber wie geht das?
Quelle: Bernhard Riemann – Wikipedia
Der Mathematiker Bernhard Riemann hatte die richtige Idee. Im Leistungskurs Mathematik erlernen Sie die genau Vorgehensweise Riemanns. Hier soll nur anschaulich seine Idee dargestellt werden.
Riemann hat sich überlegt, dass man den Flächeninhalt zunächst näherungsweise bestimmt, indem man unterhalb des Graphen eine Reihe von Rechtecken zeichnet und deren Flächeninhalt berechnet.
Setzen Sie im Applet unten den Haken bei "Untersumme". Die Rechtecke werden unter dem Graphen und außerdem, vergrößert, im rechten Bild mit Angabe der Flächeninhalte angezeigt.
Die Summe der Flächeninhalte der Untersumme wird ebenfalls angezeigt. Man sieht leicht, dass der so ermittelte Flächeninhalt zu klein ist.
Sie können die Genauigkeit erhöhen, indem Sie mit dem roten Schieberegler die Anzahl der Rechtecke vergrößern. Trotzdem bleibt die Summe immer zu klein.
Jetzt löschen Sie den Haken bei Untersumme und setzen den Haken bei Obersumme. Nun sehen Sie Rechtecke, die alle etwas zu groß sind.
Die Summe der Flächeninhalte der Obersumme sind zu groß.
Der wahre Flächeninhalt muss zwischen Untersumme und Obersumme liegen.
Quelle: Bernhard Riemann – Wikipedia
Der Mathematiker Bernhard Riemann hatte die richtige Idee. Im Leistungskurs Mathematik erlernen Sie die genau Vorgehensweise Riemanns. Hier soll nur anschaulich seine Idee dargestellt werden.
Riemann hat sich überlegt, dass man den Flächeninhalt zunächst näherungsweise bestimmt, indem man unterhalb des Graphen eine Reihe von Rechtecken zeichnet und deren Flächeninhalt berechnet.
Setzen Sie im Applet unten den Haken bei "Untersumme". Die Rechtecke werden unter dem Graphen und außerdem, vergrößert, im rechten Bild mit Angabe der Flächeninhalte angezeigt.
Die Summe der Flächeninhalte der Untersumme wird ebenfalls angezeigt. Man sieht leicht, dass der so ermittelte Flächeninhalt zu klein ist.
Sie können die Genauigkeit erhöhen, indem Sie mit dem roten Schieberegler die Anzahl der Rechtecke vergrößern. Trotzdem bleibt die Summe immer zu klein.
Jetzt löschen Sie den Haken bei Untersumme und setzen den Haken bei Obersumme. Nun sehen Sie Rechtecke, die alle etwas zu groß sind.
Die Summe der Flächeninhalte der Obersumme sind zu groß.
Der wahre Flächeninhalt muss zwischen Untersumme und Obersumme liegen.Muss das so mühsam sein?
Wenn das die ganze Idee von Riemann gewesen wäre, dann wäre er nicht berühmt geworden.
Sehr viele Rechtecke unter und über einem Graphen zu zeichnen und zu berechnen ist nicht sehr genau und sehr mühsam. Und im 19. Jahrhundert gab es noch kein Geogebra.
Die nächste Idee kann man im nächsten Applet untersuchen.
Die linke Grafik hat sich nicht geändert. Sie können wieder Unter- und Obersummen anzeigen lassen und auch die Anzahl der Rechtecke variieren.
In der Rechten Grafik sehen Sie jetzt zwei Punkte, deren x-Koordinate mit der markierten x-Koordinate aus der linken Grafik übereinstimmt. Die y-Koordinaten der beiden Punkte sind die Summen von Unter- und Obersumme. Zwischen den beiden Punkten liegt deshalb der Graph der gesuchten Flächeninhaltsfunktion.
Wenn Sie in der linken Grafik die markierte Stelle auf der x-Achse variieren, bewegen sich auch die Punkte in der rechten Grafik. Damit man den Verlauf des Graphen erahnen kann, ziehen die Punkte eine Spur hinter sich her, die man mit "Clear" löschen kann.
Wenn Sie den Haken bei "Tatsächlicher Flächeninhalt" setzen, können Sie auch den Verlauf der Flächeninhaltsfunktion beobachten.
Erhöht man die Anzahl der Rechtecke, dann nähern sich die beiden Graphen an.
Schreibweisen
Jetzt schauen Sie sich noch einmal die Untersumme an. Mit der Obersumme könnte man die folgenden Überlegungen genauso durchführen.
Wenn man die Untersumme berechnen will, muss man die Flächeninhalte aller Rechtecke ausrechnen. Die Breite jedes Rechtecks ist . Man bezeichnet die Rechteckbreite mit dx. Dabei stellt man sich dx möglichst klein vor.
Für den Flächeninhalt der Untersumme kann man also schreiben
Statt "Summe aller" verwendet man das Zeichen
, wenn gilt, wenn also dx gegen 0 geht, die Anzahl der Rechtecke also gegen (Unendlich) geht.
Im folgenden Applet wird das veranschaulicht.
Die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion
sie haben nun verstanden, dass die Flächeninhaltsfunktion
jedem x-Wert den Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der
x-Achse zwischen den 0 und x zuordnet.
Jetzt soll die Flächeninhaltsfunktion an einer beliebigen
Stelle x_0 abgeleitet werden.
Mit dem orangenen Schieberegler können Sie die Stelle
einstellen, an der die Ableitung bestimmt werden soll.
Zur Erinnerung: die Ableitung einer Funktion ist selbst eine
Funktion, die jedem x-Wert die Steigung der Funktion an der Stelle x zuordnet.
Die Steigung an der Stelle x entspricht der Steigung der Tangente an der Stelle
x.
Das folgende Bild zeigt ein Beispiel. Die Steigung an der
hier dargestellten Funktion an der Stelle x = 2,5 beträgt -0,2892
Man könnte auch schreiben: f(2,5)=-0,2892
Für ganzrationale Funktionen haben sie mittlerweile Regeln
gelernt, wie man zu einer gegebenen Funktion f die zugehörige
Ableitungsfunktion f‘ finden kann.
Die Regel für das Ableiten ganzrationaler Funktionen ist
für andere Funktionen kann man die Ableitung an einer Stelle
bestimmen, indem man zunächst eine Gerade durch 2 Punkte des Graphen legt
und deren Steigung bestimmt. Der eine der beiden Punkte hat die x-Koordinate
x_0, der andere Punkt hat die x-Koordinate .
Die folgenden Bilder zeigen eine Abfolge, mit der die Steigung der Funktion an der Stelle bestimmt wird.
Zunächst beträgt . Die Steigung der Sekante ist 2,25
Jetzt beträgt und die Steigung der Tangente 3,75
Jetzt ist \Delta x=0.1 und die Steigung beträgt 5,31
Im letzten Bild beträgt der Abstand nur noch und die Steigung beträgt 5,7496. Die Sekante ist mit dem Auge nicht mehr von einer Tangente zu unterscheiden.
Man könnte auch schreiben: f(2,5)=-0,2892
Für ganzrationale Funktionen haben sie mittlerweile Regeln
gelernt, wie man zu einer gegebenen Funktion f die zugehörige
Ableitungsfunktion f‘ finden kann.
Die Regel für das Ableiten ganzrationaler Funktionen ist
für andere Funktionen kann man die Ableitung an einer Stelle
bestimmen, indem man zunächst eine Gerade durch 2 Punkte des Graphen legt
und deren Steigung bestimmt. Der eine der beiden Punkte hat die x-Koordinate
x_0, der andere Punkt hat die x-Koordinate .
Die folgenden Bilder zeigen eine Abfolge, mit der die Steigung der Funktion an der Stelle bestimmt wird.
Zunächst beträgt . Die Steigung der Sekante ist 2,25
Jetzt beträgt und die Steigung der Tangente 3,75
Jetzt ist \Delta x=0.1 und die Steigung beträgt 5,31
Im letzten Bild beträgt der Abstand nur noch und die Steigung beträgt 5,7496. Die Sekante ist mit dem Auge nicht mehr von einer Tangente zu unterscheiden.
Mit der gleichen Vorgehensweise wird in dem folgenden Applet die Steigung der Flächeninhaltsfunktion bestimmt. Nachdem Sie einen Wert für gewählt haben, reduzieren Sie den Abstand mithilfe des pinken vertikalen Schieberegler.
Auf der rechten Seite sehen Sie den entsprechenden Ausschnitt aus der Flächeninhaltsfunktion.
Beobachten Sie, welchen Wert die Steigung der Flächeninhaltsfunktion an der Stelle annimmt und vergleichen Sie mit dem Funktionswert .
Die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion
Fazit
Für die Flächeninhaltsfunktion gilt:
Man kann daher die Flächeninhaltsfunktion F für die Funktion f bestimmen, indem man eine Funktion F bestimmt, für die
F'(x)=f(x)
gilt.