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Derivadas parciales, diferenciabilidad y gradiente

Szerző:Martín Reiris Ithurralde

Derivadas parciales. Diferenciabilidad. Aproximación de Taylor a primer orden.

Derivadas parciales. Para funciones de dos variables uno puede elegir una coordenada (digamos ) fijar la otra () en un valor (digamos ) y luego derivar la función de una variable resultante () en el sentido usual. El resultado es la derivada parcial con respecto a . Las derivadas parciales se definen y calculan justamente de ese modo. Por ejemplo, la derivada parcial de con respecto a en el punto se calcula así:
  • Se fija en el valor , obteniendo la función .
  • Se deriva dicha función con respecto a , obteniendo .
  • Se evalúa en , obteniendo
En general, Observar que al escribir se está enfatizando que es una derivada común de una variable, en este caso la variable . Cuando el punto en el que se está calculando una derivada parcial es genérico, se escribe simplemente, La definición de derivada parcial en general es la siguiente. Definición.Sea una función definida en un abierto . La derivada parcial de con respecto a en el punto se define como, , siempre y cuando ésta derivada ordinaria exista. Ejemplo. Las derivadas parciales de la función , como función de son, Al calcular derivadas parciales pueden usarse todas las reglas usuales de derivación para funciones de una variable porque al fin y al cabo una derivada parcial es una derivada común. La mayoría de las ecuaciones en la física son ecuaciones en derivadas parciales. Por ejemplo, la ecuación para el potencial gravitatorio generado por un cuerpo material con una densidad de masa es, (1) donde es la constante gravitatoria universal, o constante de Newton. En este caso la incógnita de la ecuación es el potencial que debe resolverse (cómo resolver ecuaciones en derivadas parciales no se verá en este curso). En la ecuación (1), la expresión, , es la derivada segunda de con respecto a . Es decir, es la función resultante de derivar con respecto a la función que resulta de derivar con respecto a : La otras derivadas en (1) son las derivadas segundas con respecto a y . Diferenciabilidad. Para funciones de una variable la existencia de la derivada en un punto implica que uno puede aproximar a la función cerca de por su aproximación lineal, esto es, donde es la aproximación lineal (o aproximación de Taylor a primer orden) y es el resto, que tiene la siguiente crucial propiedad, En simples palabras, cerca de , es de menor orden que el incremento . Recíprocamente, si es aproximable cerca de por una función lineal , en el sentido que, con, (2) entonces es derivable en y . De hecho, calculamos, Tomando el límite cuando , usando (2) y usando la definición de derivada como el límite del cociente incremental obtenemos . El gráfico de la función lineal es la recta que mejor aproxima al gráfico de en el punto . Ejemplo. Debajo y en verde se graficó una cierta función derivable. El gráfico de la aproximación lineal en el punto . Al deslizar el punto el gráfico en rojo del error es pequeño cerca de , en particular . Observe que las gráficas de lucen como pequeñas parábolas, lo que refleja la naturaleza cuadrática del error (la aproximación a primer orden deja un error a segundo orden si la derivada segunda existe como en este caso).
Para funciones de dos o más variables la sola existencia de las derivadas parciales en un punto no es suficiente para que la función sea aproximable cerca de ese punto por una función lineal. Por ejemplo, la función, tiene ambas derivadas parciales en el punto iguales a cero (en particular existen) pero la función no es aproximable por una función lineal porque no es continua. El ejemplo puede parecer algo patológico, excepcional, pero es fácil construir funciones continuas que tampoco son aproximables por una función lineal en ciertos puntos, aún existiendo las derivadas parciales en ellos. Al contrario de lo que sucede para las funciones de una variable, para decir que una función es diferenciable en un punto, o que sea aproximable por una función lineal, no basta con que existan las derivadas parciales de la función en el punto. La definición debe darse de forma independiente. Una función es diferenciable en un punto si existe una función lineal, (para ciertas constantes ) tal que, si escribimos a como, (3) entonces el resto es tal que, (4) Observemos que es aproximable por entonces necesariamente los coeficientes y quedan determinados por la derivadas parciales en , De hecho, sí valen (3) y (4) entonces, evaluando en , tenemos, con, Se sigue como fue explicado arriba que la función de una variable es derivable en y, Un cálculo similar se aplica para . Ejemplo. Debajo se muestra el gráfico en azul de . Al deslizar y se muestra en rojo los diferentes planos tangentes en el punto .
La definición de función diferenciable en general, para funciones de varias variables es la siguiente. Definición. Sea , , una función definida en una abierto de . Entonces es diferenciable en si las derivadas parciales de existen en y el resto definido como, es tal que, Gradiente. El vector gradiente de en el punto , es el vector, Es decir, el gradiente es el vector formado por las derivadas parciales en . El gradiente se denota como . En física suele agregarse una flecha superior para anfatizar que el gradiente es un vector, . El gradiente es un objeto central en el estudio de las funciones de varias variables y aparecerá en múltiples ocasiones a lo largo del curso. Observe que si es diferenciable en , la aproximación lineal, o aproximación de Taylor a primer orden, puede escribirse como, donde y .

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