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Pajarita nazarí

Author:Javier Cayetano Rodríguez
Topic:Circle
En el arte islámico tenemos una variedad inagotable de ejemplos de recubrimientos del plano. Una forma sencilla de obtener estos recubrimientos es mediante el método de compensación de áreas donde, a partir de un recubrimiento creado con cuadriláteros, triángulos o hexágonos creamos otro recubrimiento al recortar una zona junto a un lado de cada polígono, pegándola junto a otro de los lados.
  • El lado elegido es el obtenido tras una reflexión o una rotación que sea simetría de la figura.
  • De esta manera, garantizamos el hecho de seguir teniendo un recubrimiento del plano, pues lo que quitamos en una parte se compensará con lo añadido en otra de las figuras.
Por ejemplo, en la pajarita nazarí, partimos de un recubrimiento por triángulos y
  • recortamos una sección curva que abarque la mitad de uno de los lados.
  • giramos esa sección recortada 60º, con centro en el correspondiente vértice del triángulo, de manera que el área total de la figura seguirá siendo la misma.
Interactuando con el applet (marcar la casilla "opciones" y luego "modificar"), podemos modificar la curvatura de la sección. En el caso de la pajarita nazarí, viene determinada por las circunferencias trazadas sobre los vértices de un hexágono regular, de radio, el del propio hexágono regular. Además, la simetría de la figura nos permite inscribir una circunferencia tangente a los lados curvos en la parte interior al triángulo inicial. Asociado a esta circunferencia podemos insertar, por ejemplo, un hexágono o una estrella hexagonal.

Reflexionamos

Para dibujar el motivo interior a la pajarita, hemos dicho que nos basamos en una circunferencia tangente a los lados curvos en la parte interior al triángulo inicial, centrada en el centro del mismo. Por simetría, bastará con que sea tangente a uno de ellos. [Cuestión 1] Razona cómo podemos determinar geométricamente el radio de esa circunferencia, y también un punto por el que pasa. [Cuestión 2] Marcando "Opciones" y "Modificar", podemos cambiar la posición del punto azul, modificando la curvatura de la figura. Al aumentar la curvatura, da la sensación de que el motivo interior de la pajarita gira y se encoge. Justifica este hecho, relacionándolo con la respuesta a la cuestión anterior. Pajarita con regla y compás [Cuestión 3] En el trazado de la pajarita basado en el hexágono regular (marcar las tres capas en "Opciones"), vemos que las circunferencias pasan por un vértice del triángulo inicial y el punto medio de los lados. Además, las circunferencias son tangentes a los lados del triángulo. Esto nos permite determinar de forma más rápida el centro de las circunferencias. Aprovecha esta propiedad para hacer el trazado con regla y compás, o con GeoGebra, de varias pajaritas, una junto a otra. (Marca la opción "Ver centros" para tener una pista). Puedes indicar el enlace a los dibujos en la casilla de respuesta. [Cuestión 4] Notar que si subdividimos el triángulo en 4, los arcos también son tangentes a los lados de estos triángulos. Utiliza esta propiedad para razonar por qué el enlace entre las dos partes curvas de cada lado de la pajarita es "suave".

Repitiendo esta figura y haciendo las correspondientes simetrías que generan el recubrimiento por triángulos, tenemos un recubrimiento del plano utilizando la pajarita nazarí. Para aportar mayor belleza a la composición, podemos combinar los colores o elegir qué pajaritas llevarán hexágonos o estrellas en su interior. Este tipo de teselaciones puede apreciarse en los mosaicos de la Alhambra (Granada). Se utilizan en las dos alcobas a ambos lados del pórtico norte, y también en el Museo de la Alhambra y en el Baño de Comares.

Creando nuestro mosaico

Aprovecha las opciones del applet anterior para crear tu propio mosaico, eligiendo los colores que te interesen.

  • Marcando la casilla "Colores", utiliza los botones con flechas ⬅️➡️para elegir el elemento del que se modificará el color.
  • También, con la casilla "Opciones", podemos elegir si trazar los motivos en el centro de las pajaritas y cuál será.
Activando la casilla "Modificar", podemos cambiar la curvatura de los tramos, al igual que en el primer applet. Puede que los cambios tarden un poco en efectuarse, dependiendo de nuestro ordenador. [Ejercicio 1] Podemos probar a crear diferentes configuraciones. Por ejemplo, todas del mismo color "melado" (RGB: A98307), o con ligeras variaciones de tonalidad, con decoraciones centrales o sin ellas. [Ejercicio 2] Desmarca la casilla "Colorear", y activando la casilla "Opciones", desmarca los "Bordes", marca la pajarita "Inicial".
  1. Marca la casilla "Circunferencias" e intenta visualizar el patrón a partir del cual se van creando todas las pajaritas, usando arcos de esas circunferencias.
  2. También puedes desmarcar la casilla "Bordes" y situar el deslizador "Rellenar" en las posiciones más a la izquierda, para que se muestren solo algunas de las filas coloreadas.
  3. Por último, imprime este patrón y dibuja/colorea parte del teselado de pajaritas, ayudándote de esas circunferencias y los arcos que necesites. Te resultará útil ir marcando/desmarcando la casilla "Colorear" para no perderte al colorear el patrón.
Sube las imágenes de los dos ejercicios a la nube (por ejemplo, a una actividad GeoGebra) e introduce aquí el enlace para poder revisarlas.

Referencias

  • La Alhambra con regla y compás, Manuel Martínez Vela. Editorial Almizate, cuarta edición, 2021. Pp 25, 81-85.

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