EJERCICIO 2
Encuentra las ecuaciones vectorial, paramétrica y simétrica de la recta que pasa por el punto A(1, -2, 3) y es perpendicular a los planos xy y xz.
Solución:
Para encontrar la ecuación de la recta, necesitamos determinar su vector dirección, que será perpendicular a los planos xy y xz.
Vector dirección:
El vector dirección de la recta perpendicular a los planos xy y xz será el producto cruz de los vectores normales de ambos planos.
a) Plano xy:
El vector normal del plano xy es el vector u = (0, 0, 1).
b) Plano xz:
El vector normal del plano xz es el vector v = (0, 1, 0).
Calculamos el producto cruz entre u y v:
n = u x v = (0, 0, 1) x (0, 1, 0) = (-1, 0, 0).
Por lo tanto, el vector dirección de la recta es d = (-1, 0, 0).
Ecuación vectorial:
La ecuación vectorial de una recta se obtiene utilizando un punto base (en este caso, A) y el vector dirección (d).
La ecuación vectorial es: r = A + td.
Sustituimos las coordenadas del punto A y las componentes del vector dirección d:
r = (1, -2, 3) + t(-1, 0, 0).
Por lo tanto, la ecuación vectorial de la recta es: r = (1 - t, -2, 3).
Ecuación paramétrica:
La ecuación paramétrica de una recta se obtiene descomponiendo las coordenadas x, y, z en términos de un parámetro t.
Las ecuaciones paramétricas son: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct.
Sustituimos las coordenadas del punto A y las componentes del vector dirección d:
x = 1 - t,
y = -2,
z = 3.
Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta son: x = 1 - t, y = -2, z = 3.
Ecuación simétrica:
La ecuación simétrica se obtiene dividiendo las diferencias de las coordenadas por los coeficientes de la dirección.
Las ecuaciones simétricas son: (x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c.
Sustituimos las coordenadas del punto A y las componentes del vector dirección d:
(x - 1) / -1 = (y + 2) / 0 = (z - 3) / 0.
La ecuación se simplifica a: x - 1 = 0.
Por lo tanto, la ecuación simétrica de la recta es: x - 1 = 0.