Durchschnittliche Änderungsrate
Versuch
Nils startet aus dem Stand und beschleunigt so schnell er kann. Seine Mitschüler:innen messen in Abständen von je einem Meter, wann er an ihnen vorbeifährt.
Jede Person trägt ihre gestoppte Zeit in folgende Messwertetabelle ein:
Das dazugehörige Weg-Zeit-Diagramm sieht folgendermaßen aus:
Man kann gut erkennen, dass der Zusammenhang zwischen Weg und Zeit nicht linear zu sein scheint, denn eine Gerade lässt sich nicht gut durch die Punkte legen.
Welche Aussagen sind sinnvoll?
Stellen Sie den Parameter a im folgenden Applet ein, sodass die Parabel zu den Messwerten passt.
Legen Sie die beiden Punkte P und Q so, dass die Steigung der roten Sekante der mittleren Geschwindigkeit im Intervall zwischen 4 s und 6 s entspricht.
Welche durschnittliche Geschwindigkeit (in m/s) im Intervall zwischen 4 s und 6 s können Sie ermitteln?
Änderungsrate
In Mathematik, Naturwissenschaft und Technik geht es sehr oft um sogenannte Änderungsraten. Diese geben wieder, wie stark sich die Funktionswerte pro Schritt in x-Richtung ändern.
Im obigen Beispiel wäre die Änderungsrate: Wie viele Meter legt Nils pro Sekunde (Schritt in x-Richtung) zurück? Diese Größe bezeichnet man gemeinhin als Geschwindigkeit. Die Änderungsrate des zurückgelegten Wegs (als Funktion der Zeit) ist also die Geschwindigkeit.
Die Steigung der Sekante gibt wieder, wie groß die durchschnittliche Änderungsrate im dazugehörigen Intervall ist. Sie kann mittels Steigungsdreieck oder mittels Rechnung bestimmt werden:
Da diese Änderungsrate also als Quotient von zwei Differenzen berechnet werden kann, bezeichnet man sie auch als Differenzenquotient.