QG II - Nullstellen Definition und Typ "p=0"
Definition: Als Nullstellen bezeichnet man die x-Werte einer Funktion, für die gilt.
Es handelt sich dabei um die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse im Koordinatensystem.
Man bestimmt die Nullstellen einer Parabel mit einem Funktionsterm der Form
(also verschobene Normalparabeln mit a=1),
indem man Lösungen der quadratischen Gleichung bestimmt.
Man nennt p,q die Koeffizienten der Gleichung.
Für bestimmte Sonderfälle gibt es vereinfachte Verfahren, die Lösungen der Gleichung zu bestimmen.
Typ 1: "p=0" => "Wurzel ziehen"
Funktionstyp:
Bei Funktionen dieses Typs fehlt der Term mit dem "x". Graphisch handelt es sich um Normalparabeln, die in y-Richtung nach oben oder unten verschoben sind. Je nachdem, ob sie nach oben oder unten geöffnet sind, besitzen sie zwei oder gar keine Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse).
Beispiel 1:
Die Parabel ist nach oben geöffnet und um 16 Einheiten nach unten verschoben, besitzt also zwei Nullstellen:
Die Quadratzahl 16 wird durch die Äquivalenzumformung +16 auf die andere Seite gebracht, anschließend wir die Wurzel gezogen.
ACHTUNG: Beim "Wurzelziehen" beachten, dass es immer zwei Lösungen gibt.
Beispiel 2:
Die zugehörige Parabel ist um 25 Einheiten nach oben verschoben und nach oben geöffnet; es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse. In der Rechnung äußert sich das so, dass unter der Wurzel sich ein negativer Radikand ergibt, die quadratische Gleichung besitzt daher keine Lösung:
also
Beispiel 3:
Die zugehörige Parabel ist nach unten geöffnet und um 9 Einheiten nach oben verschoben. Es gibt daher zwei Nullstellen bei -3 und 3:
Beispiel 4: Steht vor dem x2 ein Streckung-/Stauchungsfaktor, so muss die quadratische Gleichung erst durch diesen Faktor dividiert werden.
Bestimmung der Nullstellen: