Bizirkulare Quartik als Kugel-Kegel-Schnitt
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebrabooks DARBOUX Cycliden & Bizirkulare Quartiken (Mai 2020)
Das Applet oben soll exemplarisch den Zusammenhang darstellen zwischen bizirkularen Quartiken in der euklidischen oder in der GAUSSschen Zahlenebene und den Schnitten irgendeiner Quadrik mit der RIEMANNschen Zahlenkugel.
Die stereographische Projektion vermittelt zwischen den beiden Kurventypen. Hinweis: die stereographischen Bilder liegen zum Teil im Inneren der Einheitskugel, ein anderer Teil kann sehr weit außen liegen!
Schneidet eine Quadrik die (Einheits-) Kugel, so ist die Schnittkurve dieselbe für ein ganzes Quadrik-Büschel:
- Kugel + *Quadrik = 0 für reelles : dies kann man in ge
gebra für die Gleichungen tatsächlich so eingeben!
In diesem Quadrik-Büschel liegt mindestens ein Kegel bzw. ein Zylinder, zu diesem gehört ein Symmetriekreis der Schnittkurve. Begründen läßt sich dieser Sachverhalt mit Argumenten der projektiven Geometrie und Methoden der Linearen Algebra. Man findet aber auch diese Kegel oder Zylinder im Applet mit vorsichtiger Variation des Parameters .
Zu den Kegel-Spitzen gehören polar ebene Schnitte mit der Kugel: das sind die Symmetriekreise. Die Polarebene selber wird von Kegel oder Zylinder in einem Kegelschnitt(!) geschnitten.
Die Schnittkurve auf der Kugel ergibt stereographisch projiziert eine bizirkulare Quartik - und umgekehrt!
Beim Start des Applets oben besitzt das Quadrik-Büschel 4 Kegel oder Zylinder, also 4 Symmetriekreise. Eine Kegelspitze liegt im Inneren der Kugel, der Symmetriekreis ist imaginär.
Die zugehörige bizirkulare Quartik ist achsensymmetrisch und spiegelsymmetrisch zum Einheitskreis. Sie kann als Ortskurve mit Hilfe der stereographische Projektion, aber auch in Parameterdarstellung angezeigt werden.
Vergleiche diese Kurve mit den implizit definierten Kurven, deren Gleichung im unteren Teil des Applet angegeben sind!
Der Zylinder und mit ihm die Schnittkurve und die zugehörige bizirkulare Quartik lassen sich "verschieben" in -Richtung mit Hilfe des Reglers v. Zu unserem Erstaunen ließ sich der Zylinder sogar mit der Maus "verschieben".
Die entstehenden Schnittkurven können 2-teilig, 1-teilig oder Kurven mit Doppelpunkt sein.