II warunek wystarczający, Przykład 4.6
Do wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji jednej zmiennej można również wykorzystać II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego:
Jeśli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu oraz
1. W Widoku CAS definiujemy funkcję . Określamy dziedzinę .
2. Obliczamy pochodną funkcji korzystając z polecenia Pochodna(...) lub f'(x).
3. Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji rozwiązując równanie . Korzystamy z polecenia Rozwiąż(...) lub Rozwiązania(...).
4. Obliczamy wartość drugiej pochodnej w wyznaczonym punkcie stacjonarnym.
5. Obliczamy wartość funkcji w punkcie, w którym posiada ona ekstremum lokalne.
- ,
- ,
 | Aby za pomocą GeoGebry wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji wykorzystując II warunek wystarczający, postępujemy zgodnie z poniższą instrukcją: |
Przykład.
Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem
dla .
Rozwiązanie:Funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w i ma nieskończenie wiele punktów stacjonarnych postaci , gdzie . W przedziale znajdują się tylko niektóre z nich. Manipulując suwakiem k określ, które punkty stacjonarne należą do przedziału . Czy w punktach tych istnieją ekstrema lokalne?
Dla punktu stacjonarnego mamy: , więc funkcja posiada w punkcie minimum lokalne o wartości .
Dla punktu stacjonarnego mamy: , więc funkcja posiada w punkcie maksimum lokalne o wartości .
Uzasadnij istnienie ekstremów lokalnych w pozostałych punktach stacjonarnych.
Ilustracja graficzna: