Rechenarten und Gesetze

Autor:J.M.

Vorfahrtsregeln

Hier findest du die Grundrechenarten in aufsteigender Stufe. Achte auf die Einhaltung der Vorfahrtsregeln 1. Strichrechnungen a. Addition b. Subtraktion 2. Punktrechnungen a. Multiplikation b. Division (Brüche) 3. Exponentialrechnungen a. Potenzieren b. Radizieren 4. Klammern Wie im Straßenverkehr muss man auch in der Mathematik Vorfahrtsregeln einhalten, da man sonst nicht auf das richtige Ergebnis kommt. Es gilt dabei: je höher die Stufe einer Rechenart, desto mehr Vorrang hat sie. Du kannst es dir über das Fabelwesen KlaPoPuStri merken: - Klammer vor - Potenz (Potenz bzw. Wurzel) vor - Punkt (Multiplikation bzw. Division) vor - Strich (Addition bzw. Subtraktion) Außerdem gilt: von links nach rechts

Addition und Subtraktion

Die Addition ist das dir bekannte Plus-rechnen. Sie gehört wie die Subtraktion zu den Strichrechnungen und ist mit ihr zusammen die erste Stufe des Rechnens. Die Subtraktion ist das dir bekannte Minus-rechnen.

Rechenart	Beispiel	Besonderheit	Term heißt	a heißt	b heißt
Addition		Vertauschte Summanden ändern nicht das Ergebnis	Summe	1. Summand	2. Summand
Subtraktion		Nicht vertauschbar!	Differenz	Minuend	Subtrahend

Beachte, dass bei der Addition das Kommutativgesetz und auch das Assoziativgesetz gelten.

Multiplikation und Division

Die Multiplikation ist das dir bekannte Mal-rechnen. Sie ist die Kurzschreibweise der Addition gleicher Summanden. Beispiel:

(Sechs Fünfer werden addiert) Sie gehört wie die Division zu den Punktrechnungen und ist mit ihr zusammen die zweite Stufe des Rechnens. Die Division ist das dir bekannte Geteilt-rechnen. Sie ist die Kurzschreibweise der Subtraktion gleicher Subtrahenden. Beispiel:

(Sechs Fünfer werden von 30 subtrahiert)

Rechenart	Beispiel	Besonderheit	Term heißt	a heißt	b heißt
Multiplikation		Vertauschte Faktoren ändern nicht das Ergebnis	Produkt	1. Faktor	2. Faktor
Division		darf nicht den Wert "0" haben - nicht definiert nicht vertauschbar!	Quotient	Dividend	Divisor

Beachte, dass bei der Multiplikation das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und auch das Distributivgesetz gelten.

Bruchrechnen

Die Brüche sind eine Darstellung der Division. Wir nutzen sie, ohne die Division direkt zu berechnen.

Potenzieren und Radizieren

Die Potenzieren ist das dir bekannte Hoch-rechnen. Sie ist die Kurzschreibweise der Multiplikation gleicher Zahlen. Beispiel:

(Sechs Fünfer werden multipliziert) Sie gehört wie das Radizieren zu den Exponentialrechnungen und ist mit ihr zusammen die dritte Stufe des Rechnens. Das Radizieren ist das dir bekannte Wurzel-rechnen (Wurzelziehen).

Rechenart	Beispiel	Besonderheit	Term heißt	a heißt	b heißt
Potenzieren			Potenz	Basis (Grundzahl)	Exponent (Hochzahl)
Radizieren		Der Radikand darf nicht negativ sein	b-te Wurzel	Radikand	Wurzelexponent

Eine Potenz ist die Kurzschreibweise der Multiplikation von gleichen Faktoren. Dabei wird der Faktor a als Basis (Grundzahl) geschrieben, die Anzahl seines Vorkommens n als Exponent (Hochzahl).

[size=85]Es gibt einige Spezialfälle, die du wissen solltest:

[math]a^0=1[/math]

[math]a^1=a[/math]

[math]\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\frac{1}{a^n}[/math] [math](a\ne0)[/math]

[math]\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n[/math] [math](a,b\ne0)[/math]
[/size][size=85][/size] — Es gibt einige Spezialfälle, die du wissen solltest:

Potenzgesetze

Es gibt beim Rechnen mit Potenzen ein paar Fälle, in denen du zwei oder mehrere Potenzen geschickter zusammenfassen bzw. umformen kannst: Bei gleicher Basis gilt:

Achtung:

Bei gleichem Exponenten gilt:

Achtung:

Wird eine Potenz weiter potenziert, dann gilt:

;

Wurzelgesetze

Rechnen mit Wurzeln

;

teilweise Radizieren (Wurzelziehen)

Nenner rational machen

Zusammenhang zwischen Wurzeln und Potenzen

ist diejenige positive Zahl b, für die gilt:

Für

schreibt man statt

. Es ist

für

. Zusammenhang zwischen Wurzeln und Potenzen

Klammern

Wird eine Term in eine Klammer gesetzt, dann möchte man damit die Reihenfolge des Berechnens ändern. Sie bedeutet: Der Term (in Klammer) wird zuerst ausgewertet. Beispiel:

Im oberen Beispiel muss man zuerst die Zahl fünf mit der Zahl sechs multiplizieren, da die Multiplikation Vorrang vor der Addition hat. Die Klammern ändern die Vorfahrtsregeln:

Jetzt muss zuerst die Zahl vier und die Zahl fünf addiert werden, da die Klammer Vorrang hat. Es gibt verschiedene Arten vorn Klammern: ( ) oder { } oder [ ]

Rechengesetze

Es gibt in der Algebra drei grundlegende Rechengesetze: - Kommutativgesetz - Assoziativgesetz - Distributivgesetz

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz wird auch als Vertauschungsgesetz bezeichnet. Es gilt bei der Addition sowie bei der Multiplikation. Beispiel:

(beide Rechnungen liefern das gleiche Ergebnis)

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz wird auch als Verknüpfungsgesetz bezeichnet. Es gilt bei der Addition sowie bei der Multiplikation. Beispiel: