Plano tangente y recta normal en superficie_1
Plano tangente y recta normal a una superficie
Hasta ahora las superficies en el espacio se han representado principalmente por medio de
ecuaciones de la forma
Ecuación de una superficie .
Sin embargo, en el desarrollo que sigue, es conveniente utilizar la representación más general Una superficie dada por se puede convertir a la forma
general definiendo como
Puesto que se puede considerar S como la superficie de nivel de F dada
por
Ecuación alternativa de la superficie .
EJEMPLO 1 Expresar una ecuación de una superficie
Dada la función
describir la superficie de nivel dada por
Solución La superficie de nivel dada por puede expresarse como
la cual es una esfera de radio 2 centrada en el origen.
Se han visto muchos ejemplos acerca de la utilidad de rectas normales en aplicaciones
relacionadas con curvas. Las rectas normales son igualmente importantes al analizar superficies y sólidos. Por ejemplo, considérese la colisión de dos bolas de billar. Cuando una bola
estacionaria es golpeada en un punto de su superficie, se mueve a lo largo de la línea de
impacto determinada por y por el centro de la bola. El impacto puede ser de dos maneras.
Si la bola que golpea se mueve a lo largo de la línea de impacto, se detiene y transfiere todo
su momento a la bola estacionaria, como se muestra en la figura 13.55. Si la bola que golpea no se mueve a lo largo de la línea de impacto, se desvía a un lado o al otro y retiene
parte de su momento. La transferencia de parte de su momento a la bola estacionaria ocurre
a lo largo de la línea de impacto, sin tener en cuenta la dirección de la bola que golpea,
como se muestra en la figura 13.56. A esta línea de impacto se le llama recta normal a la
superficie de la bola en el punto P.
