Spline cúbica con frontera sujeta

La propiedad e), establece que se cumple solo una de las siguientes condiciones de frontera
  • (frontera libre o frontera natural, spline cúbica natural)
  • y (spline cúbica con frontera sujeta)
donde y son especificadas por el usuario.

La primera condición de frontera la hemos visto en el capítulo anterior. La segunda condición resulta de gran utilidad ya que son las primeras derivadas y las que establecen los valores respectivos de y especificados por el usuario. Por lo cual se tiene el control de la pendiente al principio y al final del spline.

Para el extremo izquierdo, si , implica que Por la propiedad d) de las propiedades de la spline cúbica y dado que tenemos que tomando en cuenta que y , la diferencia se puede expresar como ahora, de la construcción de trazadores cúbicos para sabemos que y , entonces sabemos también que para , , entonces operando algebraicamente, nos queda (9) Para el extremo derecho, si , entonces sustituyendo y en la ecuación anterior, tenemos operando algebraicamente, nos queda (10) Así, de (9) y (10),la matriz definida en el capítulo anterior queda de la siguiente manera (Sauer, 2012)
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al ser una matriz diagonal estrictamente dominante, tiene solución única, es decir, la spline cúbica con frontera sujeta es única y su demostración es análoga a la unicidad de la spline cúbica natural.