STEINER-Kurve Sechs-Eck-Netz
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.(September 2019)
Dieses Arbeitsblatt ist auch Teil des GeoGebra-books Sechsecknetze.
Die STEINER-Kurve ist eine Kurve 4. Ordnung mit 3 Spitzen, somit ist sie eine Kurve 3. Klasse: ihre Tangenten bilden ein Sechs-Eck-Netz! Durchblättert man die Arbeit von H. Graf und R. Sauer aus dem Jahre 1924 über den nach ihnen benannten Satz, so erkennt man, dass die Autoren unzählige Konstruktionen mit Bleistift, Zirkel und sehr viel Lineal durchgeführt haben müssen, um sich einen Überblick zu verschaffen über die verschiedenen Möglichkeiten, aus Geraden Sechs-Eck-Gewebe zu erzeugen. Siehe Literaturverzeichnis [GRA-SA] Ein wenig erinnert es uns an unsere eigenen ungezählten Versuche in den 70-er Jahen, aus Kreisen solche Gewebe zu erzeugen; wobei naturgemäß der Zirkel häufiger eingesetzt wurde. In dem Artikel zählen wir 25 zum Teil sehr aufwendige Figuren von Geradensystemen. Damals wurde alles „händig“ konstruiert. Es gab noch keine Software, mit welcher solche Bilder konstruiert werden konnten, wie es jetzt dank Programmen wie Ge
Gebra sogar in Farbe und, noch eindringlicher, sogar bewegt möglich ist!
Der Satz von Graf und Sauer besagt, dass Geradensysteme, welche ein Sechs-Eck-Gewebe bilden, aus den Tangenten einer Kurve 3. Klasse bestehen. Dabei handelt es sich kurz gesagt um Kurven, für welche durch jeden Punkt der Ebene, wenn überhaupt, genau 3 Tangenten an die Kurve gehen.
Die STEINER-Kurve ist implizit durch die Geichung definiert.
Explizit in Parameterdarstellung: mit .
Diese Kurve ist also erkennbar von 4. Ordnung und besitzt 3 Spitzen.
Nach der PLÜCKERschen Formel über den Zusammenhang zwischen der Ordnung d, der Klasse d*, der Zahl der Doppelpunkte und der Zahl der Spitzen : d* =d ( d - 1)-2* -3* ist die STEINER-Kurve von 3. Klasse!
Die STEINER-Kurve oben ist nur zum Vergleich mit in das Geradennetz eingezeichnet, gemeinsame Symmetrieachsen sind die x-Achse und die beiden im Winkel 120° schneidenden Ursprungsgeraden.
Das 6-Eck-Netz wird aufgebaut aus den Symmetrieachsen, einer Geraden durch den blauen und den roten Punkt. Die 7 Punkte und 9 Verbindungsgeraden ergeben sich daraus aus Symmetriegründen, insgesamt erhält man 13 Schnittpunkte.
Um das Netz fortzusetzen, genügt ein beweglich wählbarer Punkt auf einer der Geraden.
Lagenweise kann man damit das Netz ausdehnen. Dabei macht man ähnliche Erfahrungen, wie sie Graf und Sauer in ihrem Artikel beschreiben:
- Das Netz kann sich „Überschlagen“, das „Netz überdeckt im weiteren Verlauf den alten Netzbereich auf einem ‚neuen‘ Blatt der Ebene“ (Zitat). In der Funktionentheorie spricht man von Überlagerungen.
- Die sich überlagernden Netze fallen zusammen, das Netz erscheint dann als eines aus einer endlichen Anzahl von Geraden.